Beweis der Konvergenz in der Verteilung mit dem Kontinuitätssatz von Levy

Aug 16 2020

Ich versuche, die folgende Frage zu lösen - die Teile (a) und (b) scheinen in der Struktur sehr ähnlich zu sein, aber ich kann Teil (b) nicht lösen:


Mein Versuch:

Für Teil (a) wenden wir den Kontinuitätssatz von Levy an. Fix$u \in \mathbb{R}$und beachten$$E\left(\exp\left(i\frac{uY_t}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = E\left(\sum_{n=0}^\infty \mathbf{1}(N_t = n)\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-t}t^n}{n!}E\left(\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)^n \\ = \exp \left(-t + t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)$$

durch die Unabhängigkeit von$N_t$und die$X_M(k)$und Anwenden der dominierten Konvergenz, um die Summe und den Erwartungswert für die zweite Gleichheit und durch die iid-Eigenschaft von zu vertauschen$X_M(k)$für den dritten. Wir werden uns jetzt nur mit dem Exponenten befassen und für die Kurzschrift definieren wir$Z \equiv X_M(1)$:

$$-t + tE\left(\exp\left(i\frac{u Z}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = -t + tE\left(\sum_{j=1}^\infty \frac{i^j u^j Z^j}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) \\ = -t + t\left(1 + 0 + \frac{i^2E(Y^2)u^2}{2\sigma_M^2 t} + \sum_{j=3}^\infty \frac{i^j u^j E(Z^j)}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) $$wo wir wieder DCT anwenden und bemerken, dass durch die Symmetrie der Verteilung für$Z$dass seine Erwartung 0 ist.

$$= -\frac{u^2}{2} + \frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \quad \quad \quad \textbf{(L)}\\ \xrightarrow{t \rightarrow \infty} -\frac{u^2}{2}$$

wo$c = \frac{i u}{\sigma_M}$. Für jeden$t \ge 1$und die obige Summe hat einen begrenzten Modul (durch$\exp(|c|M)$zum Beispiel), was die Konvergenz der charakteristischen Funktion zu der von a rechtfertigt$N(0,1)$und wir können Teil (a) abschließen.


Für Teil (b) habe ich versucht, dasselbe zu tun, was offensichtlich die Berechnung von erfordert$\sigma_M$da wir das in Teil (a) nicht verwendet haben. Es wird trivialerweise gezeigt, dass (der Kürze halber gesagt$\Delta \equiv \arctan(M) - \arctan(-M)$)$$\sigma_{M(t)} = \sqrt{E(X_{M(t)}(1)^2)} = \sqrt{\frac{2M - \Delta}{\pi\Delta}}$$

Ich glaube, dass die Konvergenz nach Zeile (L) genau dann gelten kann, wenn$$\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} 0$$Ich habe versucht, den Modulus der Summe neu zu schreiben, um alle Informationen über einzuschließen$\sigma_{M(t)}$, dh als gleich$$\lvert\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}}\rvert \leq \sum_{j=3}^\infty \frac{u^j}{j!} \left(\frac{M(t)^2\pi \Delta}{2M-\Delta}\right)^{j/2} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} $$Ich habe jedoch keine Ahnung, wie ich diese Schlussfolgerung von hier aus ziehen soll. Bitte helfen Sie, wenn Sie können - ich habe eine dumme Menge Zeit damit verschwendet.

Antworten

1 SangchulLee Aug 16 2020 at 11:43

Indem man feststellt, dass es eine Konstante gibt$C > 0$wofür

$$ \left| e^{ix} - \left( 1 + ix - \frac{x^2}{2} \right) \right| \leq Cx^3 \tag{*} $$

gilt für alle$x \in \mathbb{R}$, wir haben

\begin{align*} &\left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \\ &\leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[|X_M|^3\bigr] \leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[M X_M^2\bigr] \leq \frac{C M u^3}{\sigma_M \sqrt{t}}. \end{align*}

Nun, indem ich das feststelle

$$ \sigma_M \sim \frac{M}{\sqrt{3}} \quad\text{as}\quad M\to 0^+ \qquad\text{and}\qquad \sigma\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}M} \quad\text{as}\quad M\to\infty,$$

wir können die Differenz weiter begrenzen als

$$ \left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \leq C_2u^3 \frac{\max\{1,\sqrt{M}\}}{\sqrt{t}} $$

für eine absolute Konstante$C_2 > 0$. Da diese Schranke gegen konvergiert$0$wie$t \to \infty$durch die Annahme an$M$, folgt die gewünschte Schlussfolgerung.


Nachtrag.

  1. Ich glaube das$\pi$im Nenner von$\text{(5)}$ist ein Tippfehler. Die richtige Formel wäre$$ f_{X_M}(x) = \frac{1}{2\arctan(M)} \frac{\mathbf{1}_{\{|x| \leq M\}}}{1+x^2}. $$

  2. Gültigkeit von$\text{(*)}$hängt entscheidend von der Einschränkung ab$x \in \mathbb{R}$, und kann daher nicht direkt aus der Potenzreihenentwicklung gewonnen werden. Dies kann jedoch durch eine explizite Formel für den Restterm in der Taylor-Näherung bewiesen werden. Zum Beispiel können wir verwenden$$ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2i} \int_{0}^{1} (1-s)^2 e^{ixs} \, \mathrm{d}s, $$somit beweist$\text{(*)}$mit$C = \frac{1}{6}$.