Finde alle Funktionen $f$ so dass $f(mn) = f(m)f(n)$ und…
Finde alle Funktionen $f : N → N$ so dass
(ein) $f(2) = 2$
(b) $f(mn) = f(m)f(n)$ für alle $m, n ∈ N$
(c) $f(m) < f(n)$ zum $m < n$
Zuerst habe ich ersetzt $m=1,n=2$ bekommen $f(1)=1$. Als nächstes können wir leicht feststellen, dass alle Kräfte von$2$wird sich selbst gleich sein. Das ist$f(4)=4,f(8)=8$, und so weiter. Nun, der nächste Schritt, bei dem ich mir nicht so sicher bin, ist richtig. Wie$f(4)>f(3)>f(2)$, und $f : N → N$, Meiner Ansicht nach $f(3)$ kann nur sein $3$aber ich bin mir wieder nicht so sicher. Wenn es so ist, dann glaube ich, ist die einzig mögliche Funktion$f(x)=x$.
Nun zum nächsten Teil des Problems -
Was passiert, wenn uns die dritte Bedingung nicht gegeben wird?
Leider habe ich nicht einmal die Antwort auf das Problem, geschweige denn eine Lösung. Irgendwelche Hinweise wären auch hilfreich, danke.
Antworten
Noch einfacher :
wenn $f(1)=1$ und $f(2^n)=2^n$und weil du hast $$1 =f(1) < f(2) < f(3) < f(4) < ... < f(2^n)=2^n$$
Die einzige Möglichkeit ist das $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(4)=4$ und so weiter.