Funktionsfamilie mit $f(0) = 0$ und $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$ ist normal
Ich habe die folgende Frage
Lassen $B$ die Menge der Funktionen sein $f$, die auf der Festplattenplatte analytisch sind $\mathbb{D}$ und beide befriedigen $f(0) = 0$ und $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$. Beweise das$B$ ist eine normale Familie.
Es gibt einige Teile meiner Antwort, bei denen ich mir nicht sicher bin.
Betrachten Sie die übersetzte Familie $g(z) = f(z) - 1$ das nimmt Werte in $\mathbb{C} - [0,1]$. Schon seit$g(\mathbb{D})$ ist einfach verbunden und ungleich Null, können wir einwertige analytische Zweige von definieren $\sqrt{g(z)}$ im $g(\mathbb{D})$. Sobald wir eine Quadratwurzel gezogen haben, sind alle Werte von$\sqrt{g(z)}$sind in einer Halbebene enthalten, in der die Linie, die die Halbebenen trennt, den Ursprung enthält. Dann können wir nach einer möglichen Drehung davon ausgehen$\sqrt{g(\mathbb{D}})$ist in der linken Halbebene enthalten. Jetzt kann ich die in dieser Antwort verwendeten Techniken anwenden$\mathcal{F} \subset \mathcal{H}(D(0,1))$ mit $Re f>0$ und $f(0)=1$ist eine normale Familie, um zu zeigen, dass die übersetzte Familie (daher$B$) ist eine normale Familie.
Eine Sache, bei der ich mir nicht sicher bin, ist, ob ich sagen kann, dass alle Werte von $\sqrt{g(z)}$sind in einer Halbebene enthalten, in der die die Halbebenen trennende Linie den Ursprung enthält. Dies scheint wahr zu sein, aber ich bin nicht sicher. Außerdem nutze ich nicht die volle Stärke der Tatsache$f(\mathbb{D}) \cap [1,2] =\emptyset$ wie ich es wirklich nur brauche $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \emptyset$.
Alle Kommentare oder Vorschläge wäre sehr dankbar.
Antworten
Ihre Idee funktioniert nicht ganz und Sie haben nicht davon ausgegangen, dass ein nicht entartetes Intervall außerhalb des Bereichs als Warnzeichen dienen sollte (aber natürlich ist es an sich kein Beweis dafür, dass das Argument nicht funktionieren kann ).
Um das zu sehen $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \varnothing$ bedeutet nicht, dass die Normalität der Familie die Funktionen berücksichtigt $$f_k(z) = 1 - e^{kz}$$ zum $k \in \mathbb{N}$. Wir haben$f_k(\mathbb{C}) \cap \{1\} = \varnothing$ für alle $k$, und $f_k(0) = 1 - 1 = 0$. Aber$f_k(z)$ konvergiert lokal gleichmäßig zu $\infty$ in der rechten Halbebene, und es konvergiert lokal gleichmäßig zu $1$in der linken Halbebene. Die Sequenz konvergiert an keinem Punkt der imaginären Achse lokal gleichmäßig.
Der erste Fehler in Ihrem Argument ist die Behauptung, dass $g(\mathbb{D})$ist einfach verbunden. Es muss nicht sein, zum Beispiel$$g(z) = -\exp \biggl(\frac{1 + z}{1-z} - 1\biggr)\,,$$ wo $g(\mathbb{D})$ ist das Komplement (in der Ebene) einer kleinen Scheibe herum $0$. Die einfache Verbundenheit von$\mathbb{D}$ garantiert die Existenz einer holomorphen Quadratwurzel $\sqrt{g(z)}$, aber das Bild davon kann immer noch alles sein $\mathbb{C}\setminus \{0\}$.
Aber die Grundidee, die Quadratwurzel zu verwenden, um eine Familie holomorpher Funktionen mit einem in einer Halbebene enthaltenen Bild zu erhalten, muss nur ein wenig anders gemacht werden.
Betrachten Sie die Möbius-Transformation $$T \colon w \mapsto 2\cdot\frac{w-1}{w-2}\,.$$ Dies bildet das geschlossene Intervall ab $[1,2]$ zu $[-\infty, 0]$, und $T(0) = 1$.
Auf diese Weise können wir die Familie betrachten $$\tilde{B} = \Biggl\{ z \mapsto \sqrt{2\cdot \frac{f(z) - 1}{f(z) - 2}} : f \in B\Biggr\}$$ wo der Hauptzweig der Quadratwurzel verwendet wird.
Jetzt, $\tilde{B}$ist nur die Familie, die in der verknüpften Frage berücksichtigt wird, daher wissen wir, dass es sich um eine normale Familie handelt. Dann bleibt die Normalität von abzuleiten$B$davon. (Wenn$(h_k)$ ist also eine lokal gleichmäßig konvergente Sequenz $(F\circ h_k)$ ist auch unter milden Bedingungen lokal gleichmäßig konvergent $F$.)