Wann ist es möglich, die Parseval-Plancherel-Identität zur Lösung eines Integrals zu verwenden?
Das Integral hat die Form $\int_{-\infty}^\infty \sigma(x)\mu(x)\,\mathrm{d}x$. Wo die Fourier-Transformation der$\sigma$ Funktion ist $\tilde \sigma(p)= e^{-iap}\frac{1}{1+e^{-c|p|}}$ und die Funktion $\mu(x)$ ist gegeben durch $\mu(x)=-2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-2}{c}\right)$.
Die Fourier-Transformation von $\mu(x)$ kann ziemlich leicht gefunden werden $\tilde \mu(p)=\frac{e^{-i p} \left(2 i \pi e^{-\frac{c | p| }{2}}\right)}{p}$.
Die Frage ist:
Ist es möglich, die Parseval-Plancherel-Identität zu verwenden und das obige Integral als zu schreiben? $\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^\infty \tilde\sigma(p)\tilde \mu(p)\,\mathrm{d}p$?
Wenn ja, wird das obige Integral $\frac{i}{2}\int_{-\infty}^\infty dp \frac{ e^{-i (a+1) p} \text{sech}\left(\frac{c p}{2}\right)}{p}$
Welches sieht aus wie eine Fourier-Transformation von $\frac{sech(\frac{cp}{2})}{p}$Funktion. Wie wird diese Fourier-Transformation berechnet?
Antworten
Erinnern Sie sich an die Identität, von der Fourier transformiert $K(x)=\text{sech}(x)$ ist $\tilde K(p)=\pi \text{sech}\left(\frac{\pi p}{2}\right)$.
Mit dieser Identität wird die Fourier-Transformation von $\frac{\text{sech} {x}}{x}$ kann leicht berechnet werden
\ begin {Gleichung} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ infty} e ^ {- ixp} \ frac {\ text {sech} {x}} {x} \, \ mathrm {d} x = -i \ int \ pi \ text {sech} \ left (\ frac {\ pi p} {2} \ right) \ mathrm {d} p = -2 i \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left ( \ frac {\ pi p} {2} \ rechts) \ rechts) \ label {ident} \ end {Gleichung}
Unter Verwendung der Gleichung dieser Beziehung kann das gegebene Integral leicht integriert werden
\ begin {Gleichung} \ frac {i} {2} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty dp \ frac {e ^ {- i (a + 1) p} \ text {sech} \ left (\ frac { cp} {2} \ right)} {p} = \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left (\ frac {\ pi (\ Lambda_h + 1)} {| c |} \ right) \ right ) \ label {rest} \ end {Gleichung}
Überprüfen Sie die Antwort numerisch. Plot: Konstante a Plot Konstante c