Álgebra lineal: dimensión del problema del subespacio
Encontré esta pregunta en una diapositiva de una conferencia en la sección de álgebra lineal GRE de la prueba de matemáticas, y no pude resolverla.
Suponer $V$es un espacio vectorial real de dimensión finita n. Llame al conjunto de matrices de$V$ en sí mismo $M(V)$.
Dejar$T∈ M(V)$. Considere los dos subespacios$U=\{X∈M(V);TX = XT\}$ y $W=\{TX−XT; X∈M(V)\}$.
¿Cuál de lo siguiente debe ser verdad?
I. Si $V$ tiene una base que contiene solo vectores propios de $T$ entonces $U=M(V)$.
II.$\dim(U) +\dim(W) =n^2$.
III.$\dim(U)< n$.
Creo que yo debo ser falso, pero no puedo descifrar la verdad de I o III. ¡Se agradece cualquier ayuda!
Respuestas
$\DeclareMathOperator{\im}{im}$ $\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$
1 no es necesariamente cierto. Para tomar$n = 2$, y deja $T(e_1) = e_1$ y $T(e_2) = 2e_2$. Dejar$X$ ser st $X(e_1) = e_1$ y $X(e_2) = e_1 + e_2$. Entonces$TX(e_2) = T(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2$, pero $XT(e_2) = X(2 e_2) = 2e_1 + 2e_2$. Entonces$TX \neq XT$.
2 es cierto. Considere el mapa lineal$f: M(V) \to M(V)$ enviando $X$ a $TX - XT$. Entonces podemos escribir$W = \im(f)$ y $U = \ker(f)$. Luego, por el teorema de nulidad de rango,$\dim(U) + \dim(W) = \dim(M(V)) = n^2$.
3 no es necesariamente cierto. Para tomar$n > 1$ y $T =$la identidad. Entonces$U = M(V)$ entonces $\dim(U) = \dim(M(V)) = n^2 > n$.