¿Cuándo es posible usar la identidad Parseval-Plancherel para resolver una integral?

Question

La integral tiene la forma $\int_{-\infty}^\infty \sigma(x)\mu(x)\,\mathrm{d}x$. Donde la transformada de Fourier del$\sigma$ la función es $\tilde \sigma(p)= e^{-iap}\frac{1}{1+e^{-c|p|}}$ y la función $\mu(x)$ es dado por $\mu(x)=-2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-2}{c}\right)$.

La transformada de Fourier de $\mu(x)$ se puede encontrar con bastante facilidad $\tilde \mu(p)=\frac{e^{-i p} \left(2 i \pi e^{-\frac{c | p| }{2}}\right)}{p}$.

La pregunta es:

¿Es posible usar la identidad Parseval-Plancherel y escribir la integral anterior como $\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^\infty \tilde\sigma(p)\tilde \mu(p)\,\mathrm{d}p$?

Si es así, la integral anterior se convierte en $\frac{i}{2}\int_{-\infty}^\infty dp \frac{ e^{-i (a+1) p} \text{sech}\left(\frac{c p}{2}\right)}{p}$

Que parece una transformada de Fourier de $\frac{sech(\frac{cp}{2})}{p}$función. ¿Cómo se calcula esta transformada de Fourier?

Answer 1

Recordemos la identidad de la transformada de Fourier de $K(x)=\text{sech}(x)$ es $\tilde K(p)=\pi \text{sech}\left(\frac{\pi p}{2}\right)$.

Usando esta identidad la transformada de Fourier de $\frac{\text{sech} {x}}{x}$ se puede calcular fácilmente

\ begin {ecuación} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ infty} e ^ {- ixp} \ frac {\ text {sech} {x}} {x} \, \ mathrm {d} x = -i \ int \ pi \ text {sech} \ left (\ frac {\ pi p} {2} \ right) \ mathrm {d} p = -2 i \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left ( \ frac {\ pi p} {2} \ derecha) \ derecha) \ etiqueta {ident} \ end {ecuación}

Usando la ecuación de esta relación, la integral dada se puede integrar fácilmente

\ begin {ecuación} \ frac {i} {2} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty dp \ frac {e ^ {- i (a + 1) p} \ text {sech} \ left (\ frac { cp} {2} \ right)} {p} = \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left (\ frac {\ pi (\ Lambda_h + 1)} {| c |} \ right) \ right ) \ label {resto} \ end {ecuación}

Comprobando la respuesta numéricamente. Gráfico: Constante a Gráfico Constante c