Curvatura del espacio cerca de un agujero negro.
(Los teóricos rigurosos tendrán que perdonar mi redacción sobre esta pregunta, soy nuevo en GR y la mayor parte de mi formación en física es en mecánica cuántica)
En geometría no euclidiana, podemos hablar de un espacio esférico como en un espacio intrínsecamente curvado. En un espacio esférico, las líneas "paralelas" convergen en un punto. Leí en Wikipedia que "La topología del horizonte de sucesos de un agujero negro en equilibrio es siempre esférica".
¿Es una afirmación precisa afirmar que el espacio alrededor de un agujero negro es esférico y, por lo tanto, la convergencia de "líneas paralelas" se encuentra en algún punto dentro del horizonte de eventos? Si este no es el caso, ¿podemos incluso clasificar el espacio alrededor de una singularidad como hiperbólico, esférico o algo más?
Link abajo:
https://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole#Event_horizon
Respuestas
No creo que sea correcto describir el espacio-tiempo cerca de un agujero negro como "esférico". Por un lado, la curvatura del espacio cambia dependiendo de qué tan cerca esté del agujero negro. Para una esfera, la curvatura es una constante y no varía con la ubicación. Además, necesita más de un número real para especificar la curvatura de los espacios-tiempos con dimensiones superiores a 2. (Esto se debe a que puede tener un espacio donde los ángulos de un triángulo orientado en una dirección suman menos de 180 grados , pero los ángulos de un triángulo orientado en una dirección diferente suman más de 180 grados). Además, el campo gravitacional del agujero negro depende en gran parte del hecho de que el espacio-tiempo es curvo, no solo de la curvatura espacial.
Probablemente aún podría clasificar la curvatura del espacio-tiempo basándose en los signos de varios componentes del tensor de curvatura, pero la clasificación sería más complicada que esférica versus plana versus hiperbólica.
Leí en Wikipedia que "La topología del horizonte de sucesos de un agujero negro en equilibrio es siempre esférica".
Esta respuesta aclara lo que significa esa declaración. Significa que si comenzamos con cualquier agujero negro en el espacio-tiempo 4d, luego consideramos el horizonte como una variedad 3d por sí mismo, esta variedad tiene la topología$S^2\times \mathbb{R}$, dónde $S^2$ es una esfera de dos (la superficie de una bola) y $\mathbb{R}$es una línea. Es una declaración sobre topología, no sobre geometría. En particular, la declaración no dice (casi) nada sobre geodésicas (o líneas paralelas).
Por cierto, la declaración es específica de los agujeros negros en el espacio-tiempo 4d. En el espacio-tiempo 5d, un agujero negro puede tener un horizonte de eventos con topología no esférica.
Ejemplo
Considere la métrica de Schwarzschild en el espacio-tiempo 4d. El elemento de línea para líneas de mundo espaciales es$$ ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1} $$ dónde $A(r)$va a cero en el horizonte. La notación$d\Omega^2$ es una abreviatura de la parte de coordenadas esféricas: sin el factor de $A$, la combinación ${dr^2}+r^2d\Omega^2$sería el elemento lineal del espacio euclidiano 3d plano en coordenadas esféricas. Cualquier valor fijo de$r$define una subvariedad 3d del espacio-tiempo 4d. Si$A(r)\neq 0$, la métrica inducida en esta variedad es $$ ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2} $$ donde ahora $r$ y $A(r)$son constantes. Esta es la métrica estándar en$S^2\times\mathbb{R}$, donde el factor $\mathbb{R}$ cuenta para la coordenada extra $t$. En el horizonte tenemos$A(r)=0$y la ecuación (1) no tiene sentido allí. El colector suave todavía tiene sentido allí, pero los componentes de la métrica no. Podemos abordar esto de dos maneras:
Tomar $r$estar arbitrariamente cerca de este valor. Eso es lo suficientemente bueno para ver cuál es la topología del$A(r)=0$múltiple será. La ecuación (1) dice que el$dt^2$desaparece en el horizonte, lo que corresponde al hecho de que el horizonte es una hipersuperficie nula : los desplazamientos en el$t$-dirección son parecidas a la luz (tienen longitud cero).
Aún mejor, podemos usar un sistema de coordenadas diferente para que la métrica 4d esté bien definida en el horizonte. En las coordenadas de Kerr-Schild , la métrica de Schwarzschild tiene la forma$$ ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2 + V(r)(dt+dr)^2 \tag{3} $$ dónde $V(r)$ está bien definido en todas partes excepto en $r=0$. El horizonte corresponde a$V(r)=1$, donde el $dt^2$término desaparece. Ajuste$r$ igual a este valor especial da la métrica inducida $$ ds^2 = r^2d\Omega^2. \tag{4} $$ Esta es la métrica estándar en $S^2$, pero la topología es en realidad $S^2\times\mathbb{R}$, donde el $\mathbb{R}$ factor explica el $t$-coordinar. No hay$dt^2$ término en (4) porque el horizonte es una hipersuperficie nula: desplazamientos en el $t$-dirección tiene longitud cero. Esta es la misma conclusión a la que llegamos antes, pero ahora la hemos llegado de manera más directa porque la métrica (3) está bien definida en el horizonte.