Definición matemática de potencia [duplicado]
Soy un estudiante de secundaria que estaba jugando con algunas ecuaciones y obtuve una fórmula para la que no puedo imaginarme físicamente.
\begin{align} W & = \vec F \cdot \vec r \\ \frac{dW}{dt} & = \frac{d}{dt}[\vec F \cdot \vec r] = \frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r + \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt} \\ \implies & \boxed{P = \frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r + \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt}} \end{align}
Diferenciaré el trabajo usando su fórmula de forma vectorial $\vec F \cdot \vec r$Entonces obtuve esta fórmula aplicando la regla del producto. Si en esta fórmula$\frac{d\vec F}{dt}=0$ (La fuerza es constante), entonces la fórmula se convierte en $P = \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt}$ que tiene mucho sentido, pero esta fórmula también sugiere que si $\frac{d\vec r}{dt}=0$ entonces la fórmula del poder se convierte en $P =\frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r$, lo que implica que si la velocidad es cero, eso no significa necesariamente que la potencia del objeto también será cero.
Pero no encuentro esto en mi libro de texto de la escuela secundaria y no puedo pensar en un ejemplo en la parte superior de mi cabeza donde esta situación sea cierta.
Por lo que he oído y leído, si la velocidad del objeto es cero, la potencia también es cero.
¿Puede alguien aclarar mi supuesto error o darme un ejemplo de la situación en la que esto sucede?
Respuestas
El trabajo realizado por una fuerza no está definido por $W=\mathbf F\cdot\mathbf r$. En cambio, el trabajo se define en términos de una integral de línea sobre una trayectoria (su ecuación simplemente asigna un trabajo para una fuerza y una posición, que no coincide con lo que queremos decir con el trabajo realizado por una fuerza). Tenemos
$$W\equiv\int\mathbf F\cdot\text d\mathbf r\to\text dW=\mathbf F\cdot\text d\mathbf r$$
Entonces cuando tenemos $P=\text dW/\text dt$ solo tenemos
$$P=\frac{\text dW}{\text dt}=\frac{\mathbf F\cdot\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\frac{\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v$$
Entonces no hay $\mathbf r\cdot \text d\mathbf F/\text dt$término en la expresión de poder. Esto también funciona conceptualmente: la potencia de salida de una fuerza no debería depender directamente de la posición de la partícula (es decir, la ubicación del origen) en cuestión.
El trabajo se define como $W = \int_{}^{} \vec F \cdot d \vec r = \int_{}^{} \vec F \cdot \vec v \enspace dt$. La potencia, P, es dW / dt =$\vec F \cdot \vec v$.
Su relación de trabajo es incorrecta, por lo que su relación de poder (relación encuadrada en su pregunta) no es correcta.
Como ya han respondido otros, $W = \mathbf F \cdot \Delta \mathbf r$ es una simplificación y funciona solo en un caso especial de constante $\mathbf F$. Y también sus fórmulas.
Una forma de verlo físicamente es reconocer que el trabajo no es función del puesto. Matemáticamente lo solemos describir usando el concepto de diferencial inexacto:
$$\delta W = \mathbf F \cdot d \mathbf r$$
Esta notación se usa para subrayar el hecho de que puede integrar ambos lados y obtener el mismo número, pero no puede reorganizar esta fórmula y de hecho no puede (en el caso general) expresar $\mathbf F$ utilizando $W$.
Un ejemplo de un diferencial exacto y lo que le permite hacer:
$$d \mathbf r = \mathbf v \, dt \implies \mathbf v = \frac {d \mathbf r} {dt}$$
PD: hay algunos casos especiales en los que puedes escribir $\mathbf F = \nabla \, W$, en esos casos se dice que $\mathbf F$ es una fuerza potencial.
Cuando se toman derivados, es de vital importancia tener muy claro en qué función de qué.
En la definición del trabajo, la fuerza es función del puesto, no del tiempo. Esto significa que aunque ciertamente puedes moverte en un campo de fuerza que varía en el tiempo, lo que importa es la fuerza que mides en cada paso de tu camino sin importar cómo haya sido esta fuerza en el pasado o cómo será en el futuro.
Las otras respuestas discuten cosas extrañas como integrales y diferenciales. Esta respuesta intenta cumplir con los OP donde están: está dirigida al nivel de matemáticas utilizado en la pregunta y comienza con la fórmula$W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.
Es de suponer que la razón por la que se inició con esta fórmula es que se hizo encontrar en su libro de texto de la escuela secundaria y se les enseñó en la escuela. Eso es porque la fórmula es correcta, a diferencia de lo que dijeron algunas de las otras respuestas. Pero debe comprender dos cosas para aplicarlo correctamente:
- Requiere $\vec{F}$ ser constante.
- Requiere $\vec{r}$ser el cambio de posición mientras el objeto está sujeto a la fuerza$\vec{F}$. Esto estaría mejor escrito como$\Delta \vec{r}$. [1]
Ahora veamos tu problema:
Si $\frac{d\vec{r}}{dt} = 0$ entonces la fórmula del poder se convierte en $P = \frac{d\vec{F}}{dt} \cdot \vec{r}$, lo que implica que si la velocidad es cero, eso no significa necesariamente que la potencia del objeto también será cero.
Esta declaración no tiene en cuenta las dos cosas discutidas anteriormente:
- No reconoce que $\frac{d\vec{F}}{dt} = 0$.
- No reconoce que $\vec{r}$, que es realmente $\Delta \vec{r}$, realmente no significa nada cuando la velocidad es cero. (Para abordar adecuadamente este punto, nos hacemos integrales necesidad - ver las otras respuestas.)
[1] Para aquellos que saben de electricidad, así es como la gente suele escribir $V$ cuando realmente quieren decir $\Delta V$.