Demostrando la convergencia en la distribución usando el teorema de continuidad de Levy
Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta: las partes (a) y (b) parecen tener una estructura muy similar, pero no puedo resolver la parte (b):
Mi intento:
Para la parte (a), aplicamos el teorema de continuidad de Levy. Arreglar$u \in \mathbb{R}$y nota$$E\left(\exp\left(i\frac{uY_t}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = E\left(\sum_{n=0}^\infty \mathbf{1}(N_t = n)\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-t}t^n}{n!}E\left(\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)^n \\ = \exp \left(-t + t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)$$
por la independencia de$N_t$y el$X_M(k)$y aplicando convergencia dominada para intercambiar la suma y la expectativa por la segunda igualdad y por la propiedad iid de la$X_M(k)$para el tercero. Trataremos solo con el exponente por ahora, y para abreviar definimos$Z \equiv X_M(1)$:
$$-t + tE\left(\exp\left(i\frac{u Z}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = -t + tE\left(\sum_{j=1}^\infty \frac{i^j u^j Z^j}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) \\ = -t + t\left(1 + 0 + \frac{i^2E(Y^2)u^2}{2\sigma_M^2 t} + \sum_{j=3}^\infty \frac{i^j u^j E(Z^j)}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) $$donde aplicamos nuevamente DCT y observamos que por la simetría de la distribución para$Z$que su expectativa es 0.
$$= -\frac{u^2}{2} + \frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \quad \quad \quad \textbf{(L)}\\ \xrightarrow{t \rightarrow \infty} -\frac{u^2}{2}$$
dónde$c = \frac{i u}{\sigma_M}$. Para cada$t \ge 1$y la suma anterior tiene un módulo acotado (por$\exp(|c|M)$por ejemplo), justificando así la convergencia de la función característica a la de un$N(0,1)$y podemos concluir la parte (a).
Para la parte (b), he estado tratando de hacer lo mismo, lo que obviamente requerirá el cálculo de$\sigma_M$ya que no usamos eso en la parte (a). Se muestra trivialmente que (por brevedad poner$\Delta \equiv \arctan(M) - \arctan(-M)$)$$\sigma_{M(t)} = \sqrt{E(X_{M(t)}(1)^2)} = \sqrt{\frac{2M - \Delta}{\pi\Delta}}$$
Creo que la convergencia después de la línea (L) puede cumplirse si y solo si$$\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} 0$$He intentado reescribir el módulo de la suma para incluir toda la información sobre$\sigma_{M(t)}$, es decir, como siendo igual a$$\lvert\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}}\rvert \leq \sum_{j=3}^\infty \frac{u^j}{j!} \left(\frac{M(t)^2\pi \Delta}{2M-\Delta}\right)^{j/2} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} $$Sin embargo, no tengo idea de cómo llegar a esta conclusión desde aquí. Por favor, ayuda si puedes, he perdido una cantidad estúpida de tiempo en esto.
Respuestas
Al notar que existe una constante$C > 0$para cual
$$ \left| e^{ix} - \left( 1 + ix - \frac{x^2}{2} \right) \right| \leq Cx^3 \tag{*} $$
vale para todos$x \in \mathbb{R}$, tenemos
\begin{align*} &\left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \\ &\leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[|X_M|^3\bigr] \leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[M X_M^2\bigr] \leq \frac{C M u^3}{\sigma_M \sqrt{t}}. \end{align*}
Ahora al notar que
$$ \sigma_M \sim \frac{M}{\sqrt{3}} \quad\text{as}\quad M\to 0^+ \qquad\text{and}\qquad \sigma\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}M} \quad\text{as}\quad M\to\infty,$$
podemos acotar aún más la diferencia como
$$ \left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \leq C_2u^3 \frac{\max\{1,\sqrt{M}\}}{\sqrt{t}} $$
para una constante absoluta$C_2 > 0$. Dado que este límite converge a$0$como$t \to \infty$por la suposición de$M$, se sigue la conclusión deseada.
Apéndice.
Yo creo eso$\pi$en el denominador de$\text{(5)}$es un error tipográfico La fórmula correcta sería$$ f_{X_M}(x) = \frac{1}{2\arctan(M)} \frac{\mathbf{1}_{\{|x| \leq M\}}}{1+x^2}. $$
Validez de$\text{(*)}$depende críticamente de la restricción$x \in \mathbb{R}$, por lo que no se puede obtener directamente de la expansión en serie de potencias. Sin embargo, esto se puede probar usando una fórmula explícita para el término restante en la aproximación de Taylor. Por ejemplo, podemos utilizar$$ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2i} \int_{0}^{1} (1-s)^2 e^{ixs} \, \mathrm{d}s, $$demostrando así$\text{(*)}$con$C = \frac{1}{6}$.