Demuestra que si $a,b \in \mathbb{R}^n$, luego $|||a|| - ||b||| \leqslant ||a+b||$

Question

Demuestra que si $a,b \in \mathbb{R}^n$, luego $$|\|a\| - \|b\|| \leqslant \|a+b\|$$

Tenemos eso $$||a|| = ||a+b-b||\leqslant||a+b||+||-b|| = ||a+b||+||b||$$

y eso $$||b|| = ||b+a-a||\leqslant||b+a||+||-a|| = ||b+a||+||a||$$

sin embargo, no veo cómo puedo continuar desde aquí. Si tomo$||a||-||b||$ Lo entiendo $$||a||-||b|| = ||a+b||+||b|| -(||b+a||+||a||) = ||b||-||a||$$

lo cual no ayuda en absoluto. ¿Qué debo hacer aquí?

Answer 1

$$\|a\| \le \|a + b \| + \|b\|$$

Por lo tanto $\|a\|-\|b\| \le \|a+b\|$.

Similarmente tenemos $\|b\|-\|a\| \le \|a+b\|$

Por lo tanto $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \le \|a+b\|$

Es decir $|\|a\|-\|b\||\le \|a+b\|$

Answer 2

Truco furtivo: escribir $||a|| = || -a||$, $||a + b|| = ||-a-b||$y usa la desigualdad del triángulo directamente.

Answer 3

Como @Siong Thye Goh ya hizo la solución, mencionaré una cosa.

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$\blacksquare~$ Reclamación: para cualquier subespacio vectorial $(X, \| \cdot \|)$ de $~\mathbb{K}^{n}$, tenemos la siguiente desigualdad satisfecha. \begin{align*} \| a - b \| \geqslant \big\lvert \| a \| - \| b \| \big \rvert \quad \text{for any } a, b \in X \subseteq \mathbb{K}^{n} \end{align*}

$\blacksquare~$Prueba: tenemos por$\textbf{triangle inequality of norms}$ \begin{align*} &\| (a - b) + b \| ~\leqslant~ \| a - b \| + \| b \| \quad \text{for any } a, b \in X\\ \implies & \| a \| - \| b \| ~\leqslant~ \| a - b \| \quad \text{for any } a, b \in X \end{align*} Luego $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \leqslant \|a-b\|$

Por lo tanto, tenemos que $\left| \| a \| - \|b \| \right| \leqslant \| a - b \|$.

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Usando la desigualdad para cualquier $x, x_0 \in X~$ para $(X, \| \cdot \|)$ es un espacio lineal normalizado y $X$ es un subespacio de $\mathbb{R}^n$, tenemos un reclamo muy importante.

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$\bullet~$ Reclamo: el mapa$\| \cdot \| : X \to [0, \infty)$es continuo o en otras palabras, la norma $\| \cdot \|$es continuo.

$\bullet~$ Prueba: De la definición de continuidad que tenemos, para cualquier$\epsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que
\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert < \epsilon ~\text{ when }~ \| x - x_{0} \| < \delta \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} del problema anterior tenemos la desigualdad \begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| y \| \big\rvert \leqslant \| x - y \| \quad \text{for any } x, y \in X \end{align*} Escojamos nuestro $\epsilon = \delta$. Por lo tanto tenemos\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert \leqslant \| x - x_{0} \| < \delta = \epsilon \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} Lo que muestra que el mapa $\| \cdot \|$es continuo en$x_{0}$. Como$x_{0}$es arbitrario , entonces la función$\| \cdot \|$es continuo en todo el espacio $X$.

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Esto constituye la prueba importante de que cualquier norma es continua en un subespacio vectorial de dimensión finita de$\mathbb{K}^n$.

Sin embargo, no está relacionado con la pregunta, no hay intención de enviar spam :)