¿El mapa de Gysin en $K$-teoría respecto al bordismo?

Question

Dejar $X_1$ y $X_2$ ser dos giro cerrado$^c$ colectores que son bordados a través de un giro$^c$ colector-con-límite $W$.

Dejar $Z$ ser un giro cerrado$^c$ colector con $\dim Z=\dim X_1$ modificación $2$. Dejar$$f_1:X_1\to Z,\qquad f_2:X_2\to Z,\qquad F:W\to Z$$ ser mapas suaves de modo que $F|_{X_1}=f_1$ y $F|_{X_2}=f_2$. Podemos asociarnos a$f_1$ y $f_2$ dos mapas de camino equivocado (o Gysin) en $K$-teoría:

$$f_{1!}:K^0(X_1)\to K^0(Z),$$ $$f_{2!}:K^0(X_2)\to K^0(Z).$$

Dejar $E_1\to X_1$ y $E_2\to X_2$ ser dos $\mathbb{C}$-paquetes de vectores de forma que exista un paquete de vectores $\Omega\to W$ satisfactorio $\Omega|_{X_1}\cong E_1$ y $\Omega|_{X_2}\cong E_2$. Dejar$[E_i]\in K^0(X_i)$ denotar el $K$-clases teóricas definidas por $E_i$.

Pregunta: ¿Es cierto que$f_{1!}[E_1]=f_{2!}[E_2]\in K^0(Z)$?

Agregado después: Me interesaría más un enfoque que no utilice directamente la dualidad de Poincaré para la teoría K / homología K.

Answer 1

Dejar $N^n=\partial M^{n+1}$, $E\in K^\bullet(M)$ y $f:M\to X$

Elija una incrustación suave $i:X\to \mathbb{R}^N,N>>1$, denotamos por $\chi$ el paquete normal de $X$ y por $\mu$ el paquete normal de $M$ después de una pequeña deformación adecuada de $i\circ f$.

Dejar $\nu=\mu|_N$ y $\eta$ ser el paquete normal de $N\subset M$ (que es trivial y unidimensional)

Al considerar los vecindarios tubulares obtenemos el mapa natural:

$t:Th_\chi X\to Th_{\nu+\eta}N$, dónde $Th$ denota un espacio de Thom.

Después de aplicar el isomorfismo de Thom $th$ en $K^\bullet$ obtenemos la definición de un mapa de Gysin (yendo en "camino correcto" en un $Th$'s). Así que para$f_!(E|_N)=0$ es suficiente para demostrar que $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$

Realmente $t^*$pasa por un homomorfismo de conexión. Es decir, hay un diagrama conmutativo:

$\begin{matrix} Th_{\chi}X&\to& Th_{\mu}M/Th_\nu N&\\ \downarrow{t}&\swarrow{\sigma}&\downarrow{\Sigma}&\\ Th_{\nu+\eta}N&\xrightarrow{\sim}& \Sigma Th_{\nu}N&\\ \end{matrix}$

La flecha superior proviene de los barrios tubulares.

El isomorfismo horizontal proviene de la trivialidad de $\eta$, mientras que la suspensión $\Sigma$ de la secuencia de Puppe cofiber:

$Th_\nu N\to Th_\mu M\to Th_\mu M/Th_\nu N\xrightarrow{\Sigma} \Sigma Th_{\nu}N$

El mapa $\sigma$ explica la conmutatividad y proviene de:

$Th_\mu M/Th_\nu N\sim Th_\mu M/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to$ $Th_\mu (N\times(-\varepsilon,\varepsilon))/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to Th_{\nu+\eta}N$ dónde $N\times [0,\varepsilon)\subset M$ es un collar de $N$.

Finalmente, $\Sigma^*$ es el homorfismo de conexión y se sigue que $\Sigma^* th_{\nu}(F)=0$ para todos $F\in Im( K^\bullet(M)\to K^\bullet(N))$, entonces $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$

Answer 2

La respuesta es sí, usando propiedades generales de orientaciones y clases fundamentales.

Dejar $X_1$ y $X_2$ ser $n$--dimensional. Luego$f_{!i}$ es el compuesto $$K^0(X_i) \xrightarrow[\sim]{\cap [X_i]} K_n(X_i) \xrightarrow{f_{i*}} K_n(Z) \xleftarrow[\sim]{\cap [Z]} K^0(Z).$$

Mientras tanto, la dualidad de Poincaré para $W$ tiene la forma $K^0(W) \xrightarrow{\cap [W]} K_{n+1}(W, X_1 \coprod X_2)$y $d([W]) = [X_1]-[X_2]$. Así$ d(\Omega \cap [W]) = (E_1 \cap [X_1], -E_2 \cap [X_2])$, y entonces

$$ (f_{1*})(E_1 \cap [X_1]) - (f_{2*}(E_2 \cap [X_2]) = F_* i_* (d(\Omega \cap [W])) = 0,$$

desde el compuesto

$$K_{n+1}(W,X_1\coprod X_2) \xrightarrow{d} K_n(X_1 \coprod X_2) \xrightarrow{i_*} K_n(W)$$

es cero.