Entender una demostración relacionada con la continuidad

Aug 17 2020

Suponer que$f:X\to \mathbb{R}$es una función continua con$f(y)>0$para algunos$y\in X$. Leí en una prueba que dice

Ya que$f$es continua, hay una vecindad abierta$U$de$y$y un$\delta>0$tal que$f(x)\geq \delta$por$x\in X$.

No entiendo por qué existen, ¿podría explicar lo que estaba pasando? La forma en que casi entiendo es:

  1. Ya que$f$es continuo, existe un conjunto abierto$U$que contiene$y$tal que$f(x)>0$para todos$x\in U$. No puedo ver cómo se llega a esto mediante la definición de continuidad ...

  2. Ya que$f>0$en$U$por 1), elegimos$\delta>0$tan pequeño que$f(x)\geq \delta$para todos$x\in U$. ¿Está esto permitido? Si es así, ¿por qué?

Respuestas

1 DoctorWho Aug 17 2020 at 11:55

Tomar$\delta = \frac{f(y)}{2}$. Después$(\delta, \infty)$es un conjunto abierto. Por la definición de continuidad (para un espacio topológico general),$U = f^{-1}((\delta, \infty))$Esta abierto. Y claramente por definición,$y \in U$ya que$f(y) > f(y) / 2 = \delta$. y para todos$x \in U$, tenemos$f(x) > \delta$y por lo tanto$f(x) \geq \delta$.