Entropía máxima relativa entre un estado y sus marginales

Question

Fondo

La entropía relativa cuántica se define para cualquier estado cuántico$\rho, \sigma$como

$$D(\rho\|\sigma) = tr(\rho\log\rho) - tr(\rho\log\sigma)$$

Por elección arbitraria de$\rho,\sigma$, la entropía relativa cuántica puede tomar cualquier valor no negativo. Considere algún estado bipartito$\rho_{AB}$y que sus marginales sean$\rho_A$y$\rho_B$. Si consideramos$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, tenemos la información mutua. Además, tenemos que

$$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B) \leq \min(2\log|A|, 2\log|B|)$$

Pregunta

El análogo único de la entropía relativa es la entropía máxima relativa y se define como

$$D_{\max}(\rho \| \sigma)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb{R}: 2^{\lambda} \sigma \geq \rho\right\},$$

dónde$A\geq B$se usa para denotar que$A-B$es semidefinido positivo. Al igual que la entropía relativa ordinaria, la entropía relativa máxima también puede tomar cualquier valor no negativo. Si ahora considero$D_{\max}(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, ¿hay un límite superior en el valor máximo que puede tomar?

Creo que la respuesta es sí ya que el caso de$+\infty$se descarta gracias al apoyo de$\rho_{AB}$estar contenida en el apoyo de$\rho_A\otimes\rho_B$pero no han sido capaces de encontrar un límite.

Answer 1

$\renewcommand{ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}$Un estado que satura el límite de información mutua es$$\rho_{AB} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \ket{a_i}\ket{b_i} $$dónde$N = \min(|A|,|B|)$y$\{\ket{a_i}\}, \{\ket{b_i}\}$son bases para$A,B$, respectivamente. Intuitivamente, este estado maximiza la entropía de los marginales mientras mantiene$A$y$B$perfectamente correlacionado.

Este estado da$I_{\max} = \log_2(N)$. No he probado que este sea un límite superior, pero parece un buen lugar para comenzar.