Espectro principal de un anillo: ¿por qué la geometría es capturada por anillos locales?
Si una función $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ es continuo, $f$es localmente invertible en todos los puntos que no desaparecen. Es decir, para todos los puntos$x_0$ tal que $f(x_0) \neq 0$, existe un barrio abierto $U$ de $x_0$ y una función $g: U \rightarrow \mathbb R$, tal que para todos $u \in U$, $(f \times g)(u) = f(u) \times g(u) = 1$.
¿Es cierto lo contrario? ¿Es continua una función que es localmente invertible en todos los puntos que no desaparecen?
Parece que no. Considere la función$ f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 2 & \text{otherwise} \end{cases} $
Esto tiene una función inversa $ g(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 1/2 & \text{otherwise} \end{cases} $
Aunque $f$es discontinuo en todas partes. Entonces, claramente, esta definición localmente invertible está muy lejos de darnos funciones continuas.
Ahora estoy desmotivado por el espectro de un anillo. Es esta propiedad de "inversión local" la que (pensé) motiva la definición del haz de estructuras en el espectro de un anillo. En$\operatorname{Spec}(A)$, el anillo de funciones alrededor de un punto (primo) $\mathfrak p$ es $A_\mathfrak p$. Entonces, todas las funciones (elementos del anillo) que no son cero en$\mathfrak p$ se verá obligado a volverse invertible mediante la localización.
Pero esta definición no parece lo suficientemente fuerte como para capturar realmente lo que queremos --- permite muchos anillos patológicos de funciones, de los cuales no podemos recuperar la estructura del espacio original. La prueba que sé que recupera el espacio original dado el anillo de funciones necesita funciones continuas para aplicar el lema de Urhyson [esto se puede encontrar en Atiyah Macdonald, Capítulo 1, Ejercicio 26)
¿Qué me estoy perdiendo?
Respuestas
Es un hecho que una función (real o de valor complejo) continua, o continuamente diferenciable, o suave, o analítica, etc. que se desvanece en ninguna parte tiene una inversa multiplicativa en la misma categoría. Además, por continuidad, una función solo puede desaparecer en un conjunto cerrado. Por tanto, el haz de tales funciones en un espacio topológico tiene la propiedad de que sus tallos son anillos locales. Para las variedades algebraicas irreductibles definidas de la manera clásica, tenemos funciones racionales, el haz de funciones regulares tiene la misma propiedad. Para variedades algebraicas no necesariamente irreductibles, no podemos hablar realmente de funciones racionales, pero un análisis más detallado del conjunto de funciones regulares en variedades algebraicas afines irreductibles revela que no es necesario pasar por funciones racionales en primer lugar, y así es como llegamos a la definición del haz de estructuras de un esquema afín general. El hecho de que los tallos sean anillos locales es, en cierto sentido, incidental.
Dejar $k$ ser un campo algebraicamente cerrado y dejar $X$ ser un subconjunto de $k^n$. Para los propósitos de esta respuesta, una función regular en$X$ es una función $f : X \to k$ para los que existen polinomios $p$ y $q$ encima $k$ tal que $q (x) \ne 0$ para todos $x \in X$ y $f (x) = p (x) / q (x)$ para todos $x \in X$. Dejar$\mathscr{O} (X)$ ser el conjunto de funciones regulares en $X$. Entonces:
Si $X$ es un subconjunto cerrado irreducible de $k^n$, luego la tarea $U \mapsto \mathscr{O} (U)$, dónde $U$ varía sobre los subconjuntos abiertos de $X$, define una subheaf $\mathscr{O}_X$ de la gavilla de $k$-funciones valoradas en $X$.
En realidad, hay una afirmación que debe comprobarse aquí, a saber, que la regularidad de las funciones es una propiedad local, pero eso se lo dejo a usted. La definición anterior requiere$X$ estar incrustado en $k^n$, pero esto es realmente innecesario. En primer lugar:
Si $X$ es un subconjunto cerrado de $k^n$ y $f : X \to k$ es una función regular, entonces hay un polinomio $p$ encima $k$ tal que $f (x) = p (x)$ para todos $x \in X$.
Más generalmente:
Dejar $X$ ser un subconjunto cerrado de $k^n$, dejar $q$ ser un polinomio sobre $k$, y deja $U = \{ x \in X : q (x) \ne 0 \}$. Si$f : U \to k$ es una función regular, entonces existe un entero positivo $m$ y un polinomio $p$ encima $k$ tal que $f (x) = p (x) / q (x)^m$ para todos $x \in X$.
Además, si $U$ es denso en $X$, entonces el homomorfismo único $k [x_1, \ldots, x_n, u] \to \mathscr{O} (U)$ enviando $x_1, \ldots, x_n$ a las respectivas funciones de coordenadas $U \to k$ y $u$ a la función regular en $U$ definido por $1 / q$ tiene kernel $(I (X) + (q u - 1))$, dónde $I (X)$ es el ideal de polinomios que desaparecen en $X$.
De hecho, desde $f : U \to k$ es una función regular, existen polinomios $p_1$ y $q_1$ tal que $q_1 (x) \ne 0$ para todos $x \in U$ y $f (x) = p_1 (x) / q_1 (x)$ para todos $x \in U$. Por el Nullstellensatz,$\sqrt{I (X) + (q_1)} \supseteq \sqrt{I (X) + (q)}$; en particular, existe un entero positivo$m$ y $r \in k [x_1, \ldots, x_n]$ y $s \in I (X)$ tal que $q_1 r + s = q^m$. Por lo tanto,$$\frac{p_1 (x)}{q_1 (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q_1 (x) r (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q (x)^m}$$ para todos $x \in U$, entonces podemos tomar $p = p_1 r$.
Dado un elemento general de $k [x_1, \ldots, x_n, u]$decir $p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m$, dónde $p_0, \ldots, p_m$ son polinomios en $x_1, \ldots, x_n$ encima $k$, tenemos $$p_0 (x) + \frac{p_1 (x)}{q (x)} + \cdots + \frac{p_m (x)}{q (x)^m} = 0$$ para todos $x \in U$ si y solo si $$p_0 (x) q (x)^m + p_1 (x) q (x)^{m - 1} + \cdots + p_m (x) = 0$$ para todos $x \in U$. Ya que$U$ es denso en $X$, la segunda ecuación es válida para todos $x \in X$, entonces $$p_0 q^m + p_1 q^{m - 1} + \cdots + p_m \in I (X)$$ y por lo tanto, $$p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m \in I (X) + (q u - 1)$$según sea necesario. ■
El resultado de todo esto es que, si $X$ es un subconjunto cerrado irreducible de $k^n$, luego la gavilla $\mathscr{O}_X$ se puede reconstruir a partir del anillo $\mathscr{O} (X)$ junto con la biyección entre los ideales máximos de $\mathscr{O} (X)$ y los puntos de $X$: lo anterior muestra que, para un subconjunto abierto principal $U \subseteq X$, es decir $U = \{ x \in X : f (x) \ne 0 \}$ para algunos $f \in \mathscr{O} (X)$, el anillo $\mathscr{O} (U)$ es la localización de $\mathscr{O} (X)$ con respecto al conjunto multiplicativo $\{ 1, f, f^2, \ldots \}$. Es fácil comprobar que los mapas de restricción son los obvios. Dado que los principales subconjuntos abiertos de$X$ forman una base para la topología de $X$, esto determina la gavilla $\mathscr{O}_X$. Modulo la introducción de ideales primos no máximos, así es exactamente como se construye el haz de estructuras para un esquema afín general.