Explicación de la derivación de la fórmula para la suma de una secuencia aritmética de los primeros n términos
Estoy tratando de entender la derivación de la fórmula para la suma de una secuencia aritmética de la primera$n$términos.
No entiendo qué reglas o razonamiento permiten sumar dos secuencias en orden inverso para eliminar la diferencia común$d$y llegar a la conclusión de que la suma de una secuencia aritmética de la primera$n$términos es la mitad$n$veces la suma del primer y último término. Esta parece ser una forma artificial de eliminar la diferencia común de la expandida basada en algún conocimiento inexplicable de$d$y sucesiones aritméticas en general.
He investigado esta pregunta en libros de texto de matemáticas y en línea, y cada vez que se presenta la derivación, parece que no puedo encontrar una explicación de por qué sería evidente para un matemático que al agregar las secuencias obtendrían la fórmula.
El fondo.
La derivación de la fórmula como se explica en muchos libros de texto y sitios en línea es la siguiente.
- Para encontrar la suma de una secuencia aritmética para la primera$n$términos$S_n$, podemos escribir la suma en relación con el primer término$a_1$y la diferencia comun$d$.
$$ S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + ... + a_n $$
- También es posible escribir la secuencia en orden inverso en relación con el último término$a_n$.
$$ S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + ... + a_1 $$
- Cuando sumamos estas secuencias obtenemos la fórmula para la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética.
$$ \begin{array}{r} S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + \ldots + a_n \\ + \,S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + \ldots + a_1 \\ \hline 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) \ldots \end{array} $$
- Porque hay$n$muchas adiciones de$(a_1 + a_n)$la suma larga se simplifica como$n(a_1 + a_n)$y resolviendo para$S_n$llegamos a la fórmula.
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
Desafortunadamente, parece que no puedo encontrar el razonamiento en ninguna de estas explicaciones de por qué se agregaron las dos secuencias (orden ordinario e inverso). Tiene sentido para mí que se agregaron, pero no por qué este fue el siguiente paso lógico al derivar la fórmula.
La pregunta.
¿Por qué se agregaron las dos secuencias para derivar la fórmula y qué muestra eso sobre la naturaleza de las secuencias aritméticas?
En mi intento de resolver esto, noté que al estudiar muchas secuencias podemos ver que la razón de la suma de la secuencia para la primera$n$términos$S_n$y la suma del primer y último término$(a_1 + a_n)$es siempre$\frac{n}{2}$para cualquier secuencia aritmética. Entonces posiblemente podría decirse por inducción que si para cualquier secuencia aritmética es cierto que:
$$ \frac{S_n}{a_1 + a_n} = \frac{n}{2} $$
Entonces también debe ser cierto que:
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
Sin embargo, para mí esto todavía no explica por qué la derivación decide agregar las dos secuencias.
Respuestas
La conmutatividad de la suma te permite permutar la suma de dos sumandos. Por inducción sobre el número de sumandos, puede extender esto a cualquier número finito de sumandos. La asociatividad te permite agruparlos como quieras.
Piensa en la suma de números triangulares. Para sumar los primeros n números, tomas el primero y el último y los combinas para obtener n+1, luego haces lo mismo con el segundo y el penúltimo para obtener n+1. Para obtener una imagen de este proceso, consultehttps://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number. Aquí en su pregunta, su triángulo está un poco torcido y no llega a un punto, pero la idea sigue siendo la misma :).