Podemos definir $z^{\frac{1}{2}}$ como una función holomórfica en $\mathbb{C}\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$?

Question

Considerar $$z^{\frac{1}{2}}:=e^{\frac{1}{2}(\log|z|+iarg(z))}.$$

Podemos ver que, por ejemplo, $z^{\frac{1}{2}}$ puede definirse como una función holomórfica cerca $z=\frac{1}{2}$, eligiendo un barrio muy pequeño de $z=\frac{1}{2}$y definir un $arg(z)$ para hacerlo continuo allí.

Mi pregunta: ¿Puede $z^{\frac{1}{2}}$ ser considerado como una función holomórfica en $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$? aquí$D$ es la unidad de disco en $\mathbb{C}$.

Por función holomórfica me refiero a que un mapa$f:D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.\rightarrow \mathbb{C}$ satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$.

Como se responde a continuación , vemos que la respuesta a mi pregunta es negativa. Me gustaría considerar la siguiente pregunta adicional relacionada:

Una pregunta extra : pregunta similar pero esta vez consideramos el dominio$D\left\backslash B(0,\epsilon) \right.$, por un muy pequeño $\epsilon$.

Answer 1

No, esto no es posible. Esta función estaría delimitada en un vecindario perforado de$0$, que haría $0$ una singularidad removible de $z^{\frac{1}{2}}$. Pero entonces$0$ también sería una singularidad removible de la derivada $\frac{1}{2z^{\frac{1}{2}}}$, que no puede tener una singularidad removible en $0$ porque no está limitado a un vecindario perforado.