¿Por qué las matrices de covarianza se proyectan por multiplicación por derecha e izquierda?

Question

He estado haciendo mucho trabajo de filtrado de Kalman recientemente. He derivado todas las ecuaciones a partir de un problema inverso lineal básico, así que estrictamente hablando sé de dónde viene todo. También encontré este ejemplo más pictórico instructivo para solidificar la intuición.

Pero no puedo recordar o intuir exactamente por qué proyectar una matriz, digamos matriz de covarianza$P$, de un espacio a otro, por decir transformación $H$, se da como $HPH^T$.

Tiene mucho sentido que proyecte un vector multiplicando por la izquierda $Hv$.

¿Por qué para las matrices hay ese extra $H^T$ pasar el rato, aparte de eso, hace que las dimensiones funcionen?

Answer 1

Ahora que miro de nuevo veo la identidad

Y una búsqueda rápida en Wikipedia produce

Esto funciona porque $X$ tiene media 0, por lo que el segundo término en el centro desaparece, y el $A$ y $A^T$ se puede descartar de la primera expectativa, dejando $AE[XX^T]A^T$, dónde $E[XX^T] = \Sigma$.