Una definición más general de una fuente y un sumidero para un campo vectorial
Por lo que puedo decir, la definición de fuente y sumidero, respectivamente, se dan en términos del operador de divergencia.
Es decir, dado un campo vectorial $\vec{D}$, tiene una fuente en el punto$P$ si su divergencia $\text{div}\vec{D}$ es pozitive en $P$o un fregadero si es negativo. Por ejemplo, en electromagnetismo, se dice$\text{div}\vec{D} = \rho_v$ dónde $\rho_v$ es la densidad de carga volumétrica y $\vec{D}$ es la densidad de flujo eléctrico.
Pero digamos $\vec{D}$ viene dada por una carga puntual positiva $q$ situado en $(0,0,0)$ que crea el campo
$$\vec{D} = \text{const} \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|^3}$$
dónde $\vec{R}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.
En este caso, $\text{div}\vec{D}=0$ en todas partes, sin embargo, el origen es una especie de fuente cuando el campo "emerge" de allí y el flujo neto sobre cada superficie que encierra la carga es positivo.
Mi pregunta es: ¿existen otras definiciones de fuente y sumidero? ¿Posiblemente algunos que son un poco más generales y abarcan casos más particulares como el que mencioné por última vez?
Respuestas
¡Creo que una generalización intuitiva proviene del teorema de la divergencia! Es decir, si sabemos que un campo vectorial tiene divergencia positiva en alguna región, entonces la integral sobre la superficie de cualquier bola alrededor de esa región será positiva. Eso abarca su ejemplo, porque de esa manera, nunca necesitamos mirar la singularidad en$x = 0$, ¡solo miramos las bolas alrededor de esa singularidad!
Denotamos por $B_r(p)$ la bola abierta de radio $r > 0$ alrededor $p$y denotar por $\partial B_r(p)$ su superficie límite.
Dejar $U \subset \mathbb{R}^n$ ser un conjunto abierto, y $p \in \mathbb{R}^n$ un punto para que haya un $\epsilon > 0$ para que las esferas $\partial B_r(p)$ están contenidos en $U$ para todos $r < \epsilon$.
Dado un campo vectorial continuo $X : U \to \mathbb{R^n}$, decimos que un punto $p \in U$ es...
- ... una fuente para$X$ si hay un $\epsilon > 0$ así que eso $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy > 0 \quad \forall r < \epsilon.$$
- ... un fregadero para$X$ es si hay un $\epsilon > 0$ así que eso $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy < 0 \quad \forall r < \epsilon$$
Si su campo vectorial se puede extender para que sea suave en todo el interior $B_r(p)$ de las esferas $S_r(p)$, entonces el teorema de divergencia nos dice
$$\oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy = \int_{B_r(p)} \text{div} X(y) \, dy,$$
y luego tu definición implica esta, porque si $\text{div} X(p) > 0$ en un solo punto, entonces, por argumentos de continuidad, habrá una bola entera $B_r(p)$ en la que $\text{div} X > 0$.
Descubrirá que su ejemplo encaja perfectamente con esta definición y puede calcular muy fácilmente las integrales en bolas alrededor de cero, y todas serán positivas, aunque nunca pueda tocar el punto cero en sí.
No estoy citando ningún libro de texto, así que ten cuidado, esta es solo mi propia opinión sobre una generalización razonable :)
EDITAR: Una alternativa es cambiar la definición de divergencia, pero aún usando esta idea de integrar bolas alrededor de puntos, ver por ejemplo en esta pregunta y respuesta.
En caso de que el campo vectorial sea integrable se puede dar una definición topológica mucho más.
Dejar $\vec{D}$ ser un campo vectorial integrable y $d$su flujo. Dejar$p$ tal que $\vec{D}(p)=0$.
$p$ es un $\textit{sink}$ si existe un conjunto abierto $U$ conteniendo $p$ tal que $\overline{d(U)} \subset U$.
$p$ es un $\textit{source}$ si existe un conjunto abierto $U$ conteniendo $p$ tal que $\overline{U} \subset {d(U)} $.