Transformer les observables, malentendu Griffiths, Intro. à QM, ou une définition différente

Dec 28 2020

Dans l' introduction de Griffiths . à QM 3rd, Sec. 6.2 , transformer un observable$Q$ par l'opérateur de traduction $T$ se trouve être $$ Q' = T^\dagger Q\ T $$ idem pour l'opérateur de parité $\Pi$ au lieu de $T$ nous avons $Q' = \Pi^\dagger Q\ \Pi$.

Mais dans d'autres textes, par exemple, Tannoudji, QM, 2e éd., Vol. I, Compléments du chapitre VI, Complément B$_{VI}$, 5. Rotation des observables , et aussi dans d'autres questions ici et ici la transformation sur l'observable$A$ par une transformation unitaire $U$ devrait être $$ A' = UA\ U^\dagger $$ où $U$, si je comprends bien, devrait être une transformation active, $T$ci-dessus et je m'attendais à ce que les deux équations soient les mêmes. Mais il semble que les deux définitions ne soient pas équivalentes, ou y a-t-il une erreur?

AJOUTÉE

Définition de Griffiths:

L'opérateur transformé $\hat Q'$ est défini comme étant l'opérateur qui donne la même valeur d'espérance dans l'état non traduit $\psi$ tout comme l'opérateur $\hat Q$ dans l'état traduit $\psi'$ $$ \langle\psi'|\hat Q|\psi'\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$Il existe deux façons de calculer l'effet d'une traduction sur une valeur d'espérance. On pourrait en fait décaler la fonction d'onde sur une certaine distance (c'est ce qu'on appelle une transformation active ) ou on pourrait laisser la fonction d'onde là où elle était et décaler l'origine de notre système de coordonnées de la même quantité dans la direction opposée (une transformation passive ). L'opérateur$\hat Q'$ est l'opérateur dans ce système de coordonnées décalé.

Utilisation de l'Eq. 6.1,$$ \langle\psi|T^\dagger\hat Q\ \hat T|\psi\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$

Définition de Tannoudji:

Supposons que le système soit dans l'état propre $|u_n\rangle$ de $A$: l'appareil de mesure $A$ dans ce système donnera le résultat $a_n$à coup sûr. Mais juste avant d'effectuer la mesure, on applique une rotation$\scr R$au système physique et, simultanément, au dispositif de mesure; leurs positions relatives restent inchangées. Par conséquent, si l'observable$A$ que nous considérons décrit une grandeur physique attachée uniquement au système que nous avons tourné (c'est-à-dire indépendamment d'autres systèmes ou appareils que nous n'avons pas tournés), puis, dans sa nouvelle position, l'appareil de mesure donnera toujours le même résultat $a_n$à coup sûr. Maintenant, après rotation, l'appareil, par dé ﬁ nition, mesure$A'$, et le système est dans l'état: $$ |u_n'\rangle = R|u_n\rangle $$ Il faut donc avoir: $$ A|u_n\rangle = a_n|u_n\rangle \implies A'|u_n'\rangle = a_n|u_n'\rangle $$ C'est: $$ R^\dagger A' R |u_n\rangle = a_n|u_n\rangle $$

Notez que $\scr R$ est la rotation de l'espace physique tridimensionnel et $R$ est son opérateur représentatif dans l'espace de Hilbert.

Réponses

5 ValterMoretti Dec 29 2020 at 02:23

Il existe deux idées physiquement différentes avec des propriétés mathématiques différentes lors de la définition de l' action ( active ) d'une symétrie sur les observables en physique quantique.

Supposons que, selon le théorème de Wigner ,$U$ est une transformation unitaire ou anti-unitaire de vecteurs d'état $\psi$correspondant à une action active sur les états d'un système quantique.

Si $A$est une observable, nous avons la double action ,$$A \to S_U(A) := U^{-1}A U$$et la double action inverse $$A \to S^*_U(A) := UAU^{-1}\:.$$

Le premier a le sens d'une action sur les instruments de mesure physique de sorte que l'effet sur les résultats sur l'état inchangé est le même que les résultats des états modifiés sur les observables inchangés. Ie au lieu de traduire le système le long$x$, Je traduis les instruments le long $-x$.

Ce dernier a le sens d'une action sur les instruments de mesure qui annule l'action de la symétrie sur le système en ce qui concerne les résultats des mesures.

Les preuves de ces faits sont triviales à partir du formalisme de base du QM (voir la note finale ).

Il y a une différence mathématique fondamentale lors de la discussion de l'action d'un groupe de symétrie $G$ représenté par une représentation unitaire (ou unitaire projective) sur les vecteurs d'état $$G\ni g \mapsto U_g\:.$$ Comme d'habitude, (jusqu'aux phases) $$U_gU_h =U_{g\circ h}\:, \quad U_e = I$$ où $\circ$ est le produit en $G$ et $e$est l'élément d'identité. J'utilise désormais la sténographie$S_g := S_{U_g}$ et de même pour $S^*$.

L'action double inverse définit une représentation correcte de $G$: $$S^*_g S^*_h = S^*_{g\circ h}\:,$$ alors que l'action duelle définit une représentation de gauche $$S_g S_h = S_{h\circ g}\:.$$L'utilisation de l'une ou l'autre action est une question de commodité et dépend de l'interprétation physique. En QFT, l'action naturelle du groupe d'isométries de l'espace-temps sur les observables de terrain est généralement implémentée par$S^*$.

REMARQUE .

Si $$A = \int_{\sigma(A)} \lambda dP^{(A)}(\lambda)$$ est la décomposition spectrale de l'opérateur autoadjoint $A$ et $U$ est un opérateur unitaire ou antiunitaire, alors $$UAU^{-1} = \int_{\sigma(A)} \lambda dUP^{(A)}(\lambda)U^{-1}\:.$$ En d'autres termes, la mesure spectrale $P^{(UAU^{-1})}(E)$ de $UAU^{-1}$ est juste $UP^{(A)}(E)U^{-1}$.

D'où la probabilité que le résultat de $A$ reste dans $E\subset \mathbb{R}$ lorsque l'état est représenté par le vecteur unitaire $\psi$ est $$||P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||P^{(U^{-1}AU)}(E)||^2 = ||P^{(S_U(A))}(E) \psi||^2\:,$$ donnant lieu à ladite interprétation de $S_U(A)$: agissant sur $A$ avec $S_U$ et laisser l'état fixe équivaut à agir sur $\psi$ avec $U$ et partant $A$ inchangé.

En particulier, en particulier en ce qui concerne les valeurs d'attente, $$\langle\psi| S_U(A) \psi \rangle = \langle U\psi| A \:U\psi \rangle$$

De même, $$||P^{(S^*_{U}(A))}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}UP^{(A)}(E)U^{-1}U \psi||^2 = ||P^{(A)}(E) \psi||^2\:,$$ donnant lieu à ladite interprétation de $S^*_U(A)$: l'action sur $A$ avec $S_U^*$ annule l'action de $U$ sur $\psi$.