एक ज्यामितीय रूप से 8 में आयाम में एक अपरिवर्तनीय ट्रेक्टर का वर्णन करने के लिए
$\newcommand\Alt{\bigwedge\nolimits}$लश्कर $G=\operatorname{SL}(2,\Bbb C)$, और जाने $R$ के प्राकृतिक 2-आयामी प्रतिनिधित्व को निरूपित करें $G$ में ${\Bbb C}^2$। एक पूर्णांक के लिए$p\ge 0$, लिखना $R_p=S^p R$; तब फिर$R_1=R$ तथा $\dim R_p=p+1$।
ओनिश्चिक और विनबर्ग की पुस्तक में तालिका 5 का उपयोग करते हुए, मैंने गणना की कि प्रतिनिधित्व $$ R_2\otimes\Alt^2 R_4 $$गुणन एक के साथ तुच्छ प्रतिनिधित्व है। मैंने टेबल को ब्लैक बॉक्स की तरह इस्तेमाल किया।
सवाल। लश्कर$V\subset R_2\otimes\Alt^2 R_4$इसी एक आयामी उप-स्थान को निरूपित करें। कोई कैसे वर्णन कर सकता है$V$एक उप-स्थान के रूप में ज्यामितीय रूप से ?
प्रेरणा: मैं एक पर विचार करना चाहता हूं$\operatorname{PGL}(2,k)$- ट्राइसेक्टर से बना हुआ $$v\in V\subset R_2\otimes\Alt^2 R_4\subset \Alt^3(R_2\oplus R_4)$$ 8-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष की $W=R_2\oplus R_4$ एक मैदान पर $k$ की विशेषता 0, और फिर यह सब करने के लिए एक गलाइस-कोकिल का उपयोग कर मोड़ $\operatorname{PGL}(2,k)$। इस अंत के लिए मुझे एक ज्यामितीय विवरण चाहिए$V$।
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जवाब
यहाँ एक और बहुत अच्छी (लेकिन अभी भी बीजगणितीय) व्याख्या है जो कुछ ज्यामिति की व्याख्या करती है: स्मरण करो $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ एक $2$-सेवा मेरे-$1$ में प्रतिनिधित्व $\operatorname{SL}(3,\mathbb{C})$ इतना है कि झूठ बीजगणित विभाजन के रूप में $$ {\frak{sl}}(3,\mathbb{C}) = {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})\oplus {\frak{m}} $$ कहां है ${\frak{m}}$ है ($5$) ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$ किसिंग फॉर्म का उपयोग करना ${\frak{sl}}(3,\mathbb{C})$। ध्यान दें कि${\frak{m}}$ एक विडंबना है ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$-मॉड्यूल, और वह हर तत्व $x\in {\frak{sl}}(3,\mathbb{C})$ के रूप में विशिष्ट लिखा जा सकता है $x = x_0 + x_1$ साथ से $x_0\in {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$ तथा $x_1\in{\frak{m}}$। उस पर भी ध्यान दें$[{\frak{m}},{\frak{m}}]= {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$।
यह वांछित युग्मन को परिभाषित करता है ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})\times \bigwedge\nolimits^2({\frak{m}})\to\mathbb{C}$: भेजें $(x_0,y_1,z_1)$ सेवा मेरे $\operatorname{tr}(x_0[y_1,z_1])$। बेशक, यह बनाता है$\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$जोड़ी की -विभिन्न स्पष्ट।
विशुद्ध रूप से ज्यामितीय निर्माण के लिए, निम्न बीजीय विचार के बाद, नीचे देखें।
एक Wronskian isomorphism है जो एक विशेष मामले के रूप में कहता है कि दूसरी बाहरी शक्ति है $R_4$ की सममितीय शक्ति के लिए सममितीय है $R_3$। तो प्रश्न में अपरिवर्तनीय है$I(Q,C)$, द्विआधारी द्विघात में एक संयुक्त अपरिवर्तनीय $Q$ और एक बाइनरी क्यूबिक $C$, जो रैखिक है $Q$ और में द्विघात $C$। यह वास्तव में बड़े पैमाने पर अद्वितीय है और शास्त्रीय प्रतीकात्मक अंकन (देखें, उदाहरण के लिए, अनुग्रह और युवा) द्वारा दिया गया है$$ (ab)(ac)(bc)^2 $$ कहां है $Q=a_{x}^{2}$ तथा $C=b_{x}^{3}=c_{x}^{3}$।
एक और निर्माण द्विआधारी विभेदक से शुरू करना है, और इसे एक बिलिनियर फॉर्म प्राप्त करने के लिए ध्रुवीकरण करना है (एक अद्वितीय अनियंत्रित) $R_2$), और इस बिलिनियर फॉर्म को लागू करें $Q$ और के हेसियन $C$।
यदि कोई Wronskian isomorphism का उपयोग नहीं करना चाहता है तो आक्रमणकारी होगा $J(Q,F_1,F_2)$, द्विघात में त्रैमासिक $Q$ और दो बाइनरी क्वार्टिक्स $F_1,F_2$। यह एंटीसिमेट्री को संतृप्त करेगा$J(Q,F_2,F_1)=-J(Q,F_1,F_2)$ और द्वारा प्रतीकात्मक रूप में दिया जाएगा $$ (ab)(ac)(bc)^3 $$ अब किधर $Q=a_{x}^{2}$, $F_1=b_{x}^{4}$, तथा $F_2=c_{x}^{4}$।
ज्यामितीय निर्माण:
विचार करें $\mathbb{P}^1$ Veronese द्वारा एक शंकु के रूप में एम्बेडेड $\mathscr{C}$ में $\mathbb{P}^2$। एक द्विआधारी द्विघात$Q$ में एक बिंदु से मेल खाती है $\mathbb{P}^2$। एक बाइनरी क्यूबिक$C$ एक विभाजक या तीन अंक के एक अनियंत्रित संग्रह से मेल खाती है $\{P_1,P_2,P_3\}$ पर $\mathscr{C}$। लश्कर$T_1, T_2, T_3$ शंकु पर स्पर्शरेखा हो $P_1,P_2,P_3$। चौराहे के बिंदुओं पर विचार करें$T_1\cap P_2P_3$, $T_2\cap P_1P_3$, $T_3\cap P_1P_2$। वे गठबंधन कर रहे हैं और इस तरह एक लाइन को परिभाषित करते हैं$L$। वैरागी का लुप्त होना$I(Q,C)$ स्थिति का पता लगाता है जहां बिंदु $Q$ लाइन पर है $L$। मुझे याद नहीं है कि अगर मेरे द्वारा बताए गए कोलिनियरिटी परिणाम का कोई नाम है, लेकिन यह पास्कल के प्रमेय का एक विकृत मामला है।