एक z- डोमेन स्थानांतरण फ़ंक्शन का उपयोग करके इस प्रणाली को पर्याप्त रूप से क्यों नहीं दिखाया जा सकता है?
इस प्रश्न के अनुसार और निम्नलिखित प्रणाली को z- परिवर्तन हस्तांतरण फ़ंक्शन द्वारा पर्याप्त रूप से कैप्चर नहीं किया जा सकता है।
$$y[n] = y[n-1] + F_{\psi}(y[n-1)) + F_{\phi}(x[n-1])$$ कहाँ पे $F_{\alpha}(z)$ फॉर्म का पहला ऑर्डर हाई पास फिल्टर है $$F_{\alpha}(z) = \frac{\alpha (1 -z^{-1})}{1-\alpha z^{-1}} $$
जवाब में कहा गया है कि
समस्या यह है कि वहाँ एक ध्रुव-शून्य निरस्तीकरण है जो मेरे और बाकी सभी लोगों के लिए सही है। यह (1) के बायीं ओर स्पष्ट है, जहाँ yk का व्युत्पत्ति समीकरण का विषय है।
तो इसका कारण यह है कि आप इस समस्या को हल नहीं कर सकते हैं जैसा कि अंतिम मूल्य प्रमेय का उपयोग करके कहा गया है कि आप ट्रांसफर फ़ंक्शन का उपयोग करके सिस्टम का पर्याप्त रूप से प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं। हस्तांतरण फ़ंक्शन संकेतन के भीतर इसे बचाने का कोई तरीका हो सकता है, लेकिन मैंने पहले चरण में सिर्फ कोशिश की और असफल रहा, इसलिए मैं इसे राज्य-स्थान पर करने जा रहा हूं
Z- परिवर्तन (या अन्य) की किन सीमाओं के लिए वैकल्पिक तरीकों का उपयोग करके इस प्रणाली का विश्लेषण किया जाना आवश्यक है? सामान्य रूप से सिस्टम की कौन-सी विशेषताएं समान कठिनाई पैदा करती हैं और क्यों?
जवाब
एक ट्रांसफर फ़ंक्शन एक LTI सिस्टम का वर्णन करता है। जैसे, किसी ट्रांसफर फ़ंक्शन द्वारा दी गई प्रणाली का वर्णन किया जा सकता है। हालांकि, अगर गैर-शून्य प्रारंभिक शर्तें हैं, तो सिस्टम अब रैखिक नहीं है क्योंकि आउटपुट में एक योगदान है जो इनपुट सिग्नल पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन केवल प्रारंभिक स्थितियों पर। नतीजतन, गैर-शून्य प्रारंभिक शर्तें होने पर सिस्टम की प्रतिक्रिया की गणना करने के लिए स्थानांतरण फ़ंक्शन का सीधे उपयोग नहीं किया जा सकता है।
फिर भी, (एकतरफा) $\mathcal{Z}$-ट्रांसफॉर्म का उपयोग सिस्टम की प्रतिक्रिया की गणना करने के लिए किया जा सकता है, यहां तक कि गैर-शून्य प्रारंभिक स्थितियों के साथ, अंतर समीकरण का उपयोग करके परिवर्तित करके
$$\mathcal{Z}\big\{ y[n-k]\big\}=z^{-k}Y(z)+\sum_{m=0}^{k-1}z^{-m}y[m-k],\qquad k>0\tag{1}$$
उदाहरण: बिंदु को स्पष्ट करने के लिए मूल समस्या में समान ध्रुव-शून्य निरस्तीकरण के साथ एक सरल उदाहरण का उपयोग करते हैं। द्वारा वर्णित प्रणाली पर विचार करें
$$y[n]-y[n-1]=\alpha \big(x[n]-x[n-1]\big)\tag{2}$$
तबादला समारोह है
$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\alpha(1-z^{-1})}{1-z^{-1}}=\alpha\tag{3}$$
स्पष्ट रूप से, $y[n]=\alpha x[n]$ का एक समाधान है $(2)$। यदि हम सिस्टम को रैखिक होने की आवश्यकता है, तो यह एकमात्र समाधान भी है। हालांकि, यह एकमात्र समाधान नहीं है यदि हम गैर-रैखिक प्रणालियों की अनुमति देते हैं क्योंकि फार्म के असीम रूप से कई समाधान हैं
$$y[n]=\alpha x[n]+c\tag{4}$$
एक मनमाना स्थिर के साथ $c$। ध्यान दें कि ये समाधान स्थानांतरण फ़ंक्शन से अनुमान नहीं लगाए जा सकते हैं$(3)$।
चलो अब उपयोग करते हैं $\mathcal{Z}$-परिवर्तन करना $(2)$ प्रारंभिक स्थितियों के साथ $y[-1]\neq 0$ तथा $x[-1]=0$। बदलने$(2)$ का उपयोग करते हुए $(1)$ देता है
$$Y(z)(1-z^{-1})-y[-1]=\alpha X(z)(1-z^{-1})$$
जिसके परिणामस्वरूप निम्नलिखित है $\mathcal{Z}$आउटपुट के -ट्रांसफॉर्म:
$$Y(z)=\alpha X(z)+\frac{y[-1]}{1-z^{-1}}\tag{5}$$
समय डोमेन में यह बन जाता है
$$y[n]=\alpha x[n]+y[-1]u[n]\tag{6}$$
कहाँ पे $u[n]$इकाई कदम है। Eq।$(6)$ का सिर्फ एक कारण संस्करण है $(4)$।
इससे पता चलता है कि द $\mathcal{Z}$-ट्रांसफॉर्म का उपयोग गैर-शून्य प्रारंभिक स्थितियों के साथ सिस्टम की प्रतिक्रिया की गणना करने के लिए किया जा सकता है, भले ही समस्या को हल करने के लिए स्थानांतरण फ़ंक्शन अकेले अपर्याप्त हो।