Frattali - Come funziona la teoria del caos

Se esamini attentamente un diagramma di biforcazione, inizi a vedere schemi interessanti. Ad esempio, inizia con un diagramma completo, come quello nella prima immagine.

Quindi, ingrandisci il primo punto di raddoppio. Sembra una V laterale arrotondata. Ora guarda le V laterali più piccole che seguono nella serie.

Ora ingrandisci di nuovo, diciamo, su quella V superiore e più piccola.

Nota come questa regione del diagramma appare come l'originale. In altre parole, la struttura su larga scala della figura viene ripetuta più volte. Le regioni di raddoppio mostrano una qualità nota come auto-somiglianza : le regioni piccole assomigliano a quelle grandi. Anche se guardi nelle aree caotiche del diagramma (che si trovano a destra), puoi trovare questa qualità.

L'auto-somiglianza è una proprietà di una classe di oggetti geometrici noti come frattali . Il matematico di origine polacca Benoît Mandelbrot ha coniato il termine nel 1975, dopo la parola latina fractus , che significa "rotto" o "frammentato". Ha anche elaborato la matematica di base degli oggetti e ne ha descritto le proprietà. Oltre all'auto-somiglianza, i frattali possiedono anche qualcosa noto come dimensione frattale , una misura della loro complessità. La dimensione non è un numero intero -- 1, 2, 3 -- ma una frazione. Ad esempio, una linea frattale ha una dimensione compresa tra 1 e 2.

Il fiocco di neve di Koch , dal nome del matematico svedese Helge van Koch, è un classico esempio di frattale. Per ricavare la forma, van Koch ha stabilito le seguenti regole, prima per una linea:

La seconda immagine mostra come sarebbero le prime due iterazioni:

Se inizi con un triangolo equilatero e ripeti la procedura, ti ritroverai con un fiocco di neve che ha un'area finita e un perimetro infinito:

Oggi, i frattali fanno parte dell'identità visiva del caos. Come oggetti infinitamente complessi che sono auto-simili su tutte le scale, rappresentano i sistemi dinamici in tutta la loro gloria. Infatti Mandelbrot alla fine dimostrò che l'attrattore di Lorenz era un frattale, come lo sono la maggior parte degli attrattori strani. E non si limitano alle riflessioni degli scienziati o ai rendering dei computer.

I frattali si trovano in tutta la natura: nelle coste, nelle conchiglie, nei fiumi, nelle nuvole, nei fiocchi di neve e nella corteccia degli alberi. Prima di fare una gita, tuttavia, tieni presente che l'auto-somiglianza si comporta in modo leggermente diverso nei sistemi naturali. In ambienti matematici controllati, un oggetto con auto-somiglianza spesso mostra un'esatta ripetizione di schemi a diversi ingrandimenti. In natura, i modelli obbediscono all'auto-somiglianza statistica: non si ripetono esattamente ma parti di essi mostrano le stesse proprietà statistiche a molte scale diverse.