因数分解の問題 $x^4-x^3+x^2-x+1$

Question

部分分数を使用して次の積分を計算したい： $$\int{1\over x^5+1}dx$$だから私は分母を分解します：

$$x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$$

次のステップのために私はインターネットで検索し、分解する必要があることを見つけました$x^4-x^3+x^2-x+1$ このような：

$$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)$$

その後 $a,b$ 簡単に見つけることができます。

私の質問はなぜ $x^2,x^0$ です $1$？

私は書き直すことができるので：

$$x^4-x^3+x^2-x+1=(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$$

そして、私が最初に見ることができるのは $ad=1,cf=1$ そして私にはその理由がわかりません $a=d=c=f=1$

あなたは彼の答えを以下に見ることができます：

Answer 1

一般に、2つの多項式は定数の乗算に与えられます（1つを乗算することができます $k$ およびその他 $1/k$）、あなたはそれを次のように配置することができます $a=d=1$保証されています。例えば$x^2+4x+4$ として因数分解することができます $(x+2)(x+2)$ だけでなく $(2x+4)(\frac{1}{2}x+1)$。したがって、係数の1つを自由に修正して、答えを一意にすることができます。ただし、これを行うと、他の人に選択肢がなくなるため、ここでの正しい開始は次のようになります。 $$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2−ax+b)(x^2−cx+d).$$

確かに、定数係数に関する詳細情報を取得するためにさらに計算を行うことはできますが、その前に行うことはできません。

また、わずかに変更された例に従うと、先行係数と定数係数の両方が $1$ 最初から間違っています：

$$ x^4-x^3+x^2+x+1=\\(x^2+0.86676039+0.46431261)(x^2-1.86676039x+2.15372137) $$

ただし、リンクされた他の質問で指摘されているように、この場合、多項式はパリンドローム（自己逆数）であることがおそらく使用されました（ただし、説明されていません）。これは、その根がペアになっていることを意味します。 $\alpha, \frac{1}{\alpha}$ （それはの結果です $x^4f(1/x)=f(x)$）。これにより、フォームの要素を期待できます$$(x-\alpha)(x-\frac{1}{\alpha})=x^2-(\alpha+\frac{1}{\alpha})x+1,$$ またはより一般的な $x^2-ax+1$。

Answer 2

モニック（たとえば、先行係数1）の4次多項式があるとします。 $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$ 2つの2次多項式を因数分解すること：
$(ex^2 + fx + g) \times (hx^2 + ix + j).$

次に、最初の多項式の各係数を次のように除算できます。 $e$ そして、2番目の多項式の各係数に $e$。これにより、次のものが生成されます。 $(x^2 + [f/e]x + [g/e]) \times ([he]x^2 + [ie]x + [je]).$

ただし、これら2つの多項式の積は
$x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$、
その後$h \times e$ しなければならない= 1。$

したがって、4次のモニック多項式は2つの2次のモニック多項式に因数分解されています。他の人がこのファクタリングの下で、指摘したように、という理由だけで$ X ^ 0 $の第四次多項式における係数は1にすることを意味するものではありません$ X ^ 0 $の2第二次の多項式の係数それぞれが1つでなければなりません。確かに言えることは、2つの2次多項式の2つの$ x ^ 0 $係数の積は= 1でなければならないということです。

私が正しく理解していれば、元のクエリで指定されたモニック4次多項式が2つのモニック2次係数に因数分解されると、その特定の4次係数に対して、結果のモニック2次多項式はたまたま$ x ^を持ちます。それぞれ0 $係数= 1。

OPの元の4次多項式に焦点を当てた補遺

まず、
$（x ^ 2 + x + 5）\ times（x ^ 2 + x + [1/5]）。$に 等しい4次多項式を考えます。
これは、積が次の形式になる 単純な反例です。$ x ^ 4 + ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + 1. $

編集 まあ、これは恥ずかしいです：

上記の反例に欠陥があることに気づきました。つまり、 $（x ^ 2 + x + 5）\ times（x ^ 2 + x + [1/5]）$を組み合わせてモニック4次多項式にする場合、この4次を因数分解する別の方法がある可能性があります。 OPに最初に提案されたパターンに適合する多項式。

とにかく、この補遺の残りの部分では、制約と非常によく似た方法で制約を検討します。 https://math.stackexchange.com/questions/3792716/what-is-the-meaning-of-symmetry-of-the-coefficients 誰かがすでにコメントしたリンク。

この分析はすべて、
$ f（x）= x ^ 4-x ^ 3 + x ^ 2-x + 1 $を$（x ^ 2-ax + 1）に因数分解する提案があったのはなぜかという疑問を投げかけています。
回（x ^ 2-bx + 1）。$

私が本当に起こっていること、されたことがあると推測 推測することを$ F（x）は$そう因数分解することができます。

その結果、学生は推測を調査し、それが真実であるかどうかを確認するように求められています。上の次の制約にリードを探る $ $と$ B $：

（1）re $ x ^ 3：a + b = 1. $
（2）re $ x ^ 2：2 +（a \ times b）= 1. $
（3）re $ x ^ 1：a + b = 1. $

2つの変数$ a $と$ b。$に3つの制約 があることに注意してください。

ただし、制約（1）と（3）はたまたま同一であるため、制約は2つだけになります。

制約（1）と（2）の両方が線形であったとしても、これは（一般に）解を保証しません[例えば、r + s = 6. 2r + 2s = 11]。

この場合、制約（2）は非線形であるため、さらに複雑になります。注：私はここで薄い氷の上にいます。1つの線形制約と1つの非線形制約を組み合わせた効果を研究したことはありません。

ただし、意図したとおりに探索すると、おそらく$ a $と$ b $の値を満たす ことがわかります。$ f（x）を見ると、$ f（x）$では$ x ^ 3 $と$ x ^ 1 $の係数が同じであるため、制約（3）が制約（1）と同じであること がわかります。

したがって、提案された推測は十分に動機付けられていたと主張することができます 。