最尤推定量はパラメーター化に依存できますか?

Aug 17 2020

つまり、パラメータ付きの分布があるとします $\theta$

パラメータで書き直せば $a$ そのような $a^3=\theta$、で最尤推定を行うと推定値が得られる可能性はありますか $\hat a$ そのような $\hat a^3 \neq \hat \theta$

それとは異なる別の機能の場合でしょうか $x^3$

もしそうなら、パラメータ化を選択するためのいくつかの基準は何ですか?

回答

7 StatsStudent Aug 17 2020 at 07:22

最尤推定量(MLE)の不変特性は、 $\hat{\theta}$ の最尤法です $\theta$、次に任意の関数 $\tau(\theta)$ の最尤法 $\tau(\theta)$ です $\tau(\hat{\theta})$

だから、あなたが定義するなら $a^3=\theta$、MLEを取得したら $\theta$$\hat{\theta}$、の立方根を取ることにより、逆関数を適用できます。 $\hat{\theta}$ の最尤法を取得します $a$ (すなわち $\hat{a}=\hat{\theta}^{1\over{3}}$

更新:

コメントにトーマス・ラムリーが言及した証明を追加しました。

しましょう $\hat{\eta}$ 最大化する値を示します $L^*(\eta|\textbf{x})$。私たちはそれを示さなければなりません$L^*(\hat{\eta}|\textbf{x})$=$L^*(\tau(\hat{\theta})|\textbf{x})$。の最大値$L$ そして $L^*$ 一致するので、

\ begin {eqnarray *} L ^ {*}(\ hat {\ eta} | \ textbf {x})&=&\ underset {\ eta} {\ text {sup}} \ underset {\ {\ theta:\ tau(\ theta)= \ eta \}} {\ text {sup}} \、L(\ theta | \ textbf {x})\\&=&\ underset {\ theta} {\ text {sup}} L (\ theta | \ textbf {x})\\&=&L(\ hat {\ theta} | \ textbf {x})、\ end {eqnarray *}

1番目と3番目の等式は次の定義によって成り立ちます $L^{*}$ そして $\hat{\theta}$ それぞれ、2番目の等式が成り立つのは、反復最大化が上の無条件最大化に等しいためです。 $\theta$、で取得 $\hat{\theta}$。さらに、

\ begin {eqnarray *} L(\ hat {\ theta} | \ textbf {x})&=&\ underset {\ {\ theta:\ tau(\ theta)= \ tau(\ hat {\ theta})\ }} {\ text {sup}} L(\ theta | \ textbf {x})\\&=&L ^ {*} \ left [\ tau(\ hat {\ theta})| \ textbf {x} \正しい]。\ end {eqnarray *}

したがって、等式の文字列は次のことを示しています。 $L^{*}(\hat{\eta}|\textbf{x})=L^{*}\left[\tau(\hat{\theta})|\textbf{x}\right]$ そしてそれ $\tau(\hat{\theta})$ の最尤法です $\tau(\theta)$$\blacksquare$