線維性置換ファンクター：射に対するその作用
Hoveyのモデルカテゴリで以下を読んでいます。
先に進む前に、私が使用しているモデルカテゴリの定義を次に示します。
Fibrant交換ファンクターからの回答を読んで、私は方法を知っています$Q$ オブジェクトに作用しますが、それが射にどのように作用するかはまだわかりません。
私の推測は次のようになります。
を示しましょう $\phi$初期オブジェクトとして。何なのか知りたい$Q(f \colon X \rightarrow Y)$。
の因数分解を検討してください $i_1 \colon \phi \rightarrow Y$ 沿って $i_1 = \beta(g) \alpha(g)$ との因数分解 $i_2 \colon \phi \rightarrow X$ 沿って $i_2 = \beta(h) \alpha(h)$、 どこ $\alpha(g) \colon \phi \rightarrow QY$ そして $\alpha(h) \colon \phi \rightarrow QX$。
次の可換正方形を検討することができます。
$\alpha(h)$ 共線維化であり、 $\beta(g)$ 些細なファイブレーションなので、リフトがあります $k \colon QX \rightarrow QY$。
今、言いたい $Qf = k$、ただし、このリフトは一意ではない可能性があるため、これは問題を引き起こします。
助けていただければ幸いです、ありがとう！
回答
「fibrantreplacementfunctor」と書きましたが、表記を使用しました $Q$、これは共線維置換ファンクターの表記です。私は活気のあるものと一緒に行きましたが、もちろん、$Q$、ストーリーは完全に二重です。
まあもし $f: X\to Y$、あなたは射の射を持っています：
$\require{AMScd}\begin{CD} X @>>> Y \\ @VpVV @VqVV \\ *@>>> *\end{CD}$
それ以来 $(\gamma,\delta)$ 関手因数分解を仮定すると、マップが得られます $\gamma(p)\to \gamma(q)$、つまり可換正方形：
$\begin{CD}X @>>> Y \\ @V\gamma(p)VV @V\gamma(q)VV \\ R(X) @>>> R(Y)\end{CD}$
と $R(X) \to R(Y)$のデータの一部として与えられている$\gamma((f,id_*))$ （に注意してください $\gamma(p)$、 私たちは見る $p$矢印カテゴリのオブジェクトとして$\gamma((f,id_*))$、 $(f,id_*)$ 矢印カテゴリの矢印です）
この地図が $R(f): R(X)\to R(Y)$ 作る $R$ ファンクターに入るという事実から $\gamma$ ファンクターであり、 $(g,id_*)\circ (f,id_*)= (g\circ f,id_*)$