それを示す $\Pr(X_n = 0 \text{ infinitely often}) = 0$ 分散、期待値、および $X_n ≥ 0$

Question

こんにちは私は次の質問にどこに行くべきか本当に苦労しています。

質問：

しましょう $(X_n)_{n\in \mathbb{N}}$ 確率空間で定義された確率変数のシーケンスである $(\Omega, F, \Pr)$ そのような $X_n ≥ 0,$ すべてのために $n \in \mathbb{N}.$ 仮定 $\operatorname{Var}(X_n) ≤ n^{\frac{1}{2}}$ そして $E(X_n) = n.$ それを示す $\Pr(X_n = 0 \text{ infinitely often}) = 0.$

私はボレル-Cantelli補題（下記）を認識してい
レッツ$(E_n)_{n\in \mathbb{N} }$ ある確率空間でのイベントのコレクションである $(Ω, F, Pr)$。以下が当てはまります。

1. 場合 $\sum^{\infty}_{n=1} \Pr(E_n) <\infty$ その後 $\Pr(E_n \text{ occurs infinitely often}) = 0$
2. 場合 $\sum^{\infty}_{n=1} \Pr(E_n) =\infty$ その後 $\Pr(E_n \text{ occurs infinitely often}) = 1$

この補題を適用するために与えられた情報をどのように使用するか迷っています（この補題を使用する必要があると仮定しますか？）

最終編集：

お手伝いありがとう！これが私の最終的な答えとして私が置いたものです

$\Pr(X_n = 0 \text{ infinitely often}) = \Pr({\{ \omega | X_n(\omega)=0 \; \forall n \in \mathbb{N}}\}).$

Chebyschevの不等式を使用して、 $t$ そのような $ {\{\omega | X_n(\omega)=0 }\}\subseteq {\{\omega | \lvert X_n(\omega) -n \rvert \geqslant t}\}$そして、なるよう結果のバインドはsummableです
レッツ$t=\frac{n}{2}$ その後
$\Pr(X_n = 0 )\leq \Pr(\lvert X_n -n \rvert \geqslant \frac{n}{2})\leq 4n^{-\frac{3}{2}}.$
今 $ \sum^\infty _{n=1} 4n^{-\frac{3}{2}} = 4 \sum^\infty _{n=1} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} $ フォームのapシリーズです $\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{n^p}$、次の場合に収束します $p>1$それ以外の場合は発散します。ここに、$p=\frac{3}{2}>1$これは収束を意味します。
したがって、$\ \sum^\infty _{n=1} 4n^{-\frac{3}{2}} < \infty $。
したがって、
$\ \sum^\infty_{n=1} \Pr(X_n = 0 )\leq \sum^\infty_{n=1} \Pr(\lvert X_n -n \rvert \geqslant \frac{n}{2})\leq \sum^\infty_{n=1} 4n^{-\frac{3}{2}}<\infty$。
そう$\ \sum^\infty_{n=1} \Pr(X_n = 0 )<\infty$。

最初のボレル・カンテリ補題から $\ \sum^\infty_{n=1}\Pr(E_n) <\infty \text{ then } \Pr(\{E_n \text{ occurs infinitely often }\})=0 $。

したがって、 $\sum^\infty_{n=1} \Pr(X_n = 0 )<\infty \Rightarrow \Pr(\{X_n=0 \text{ occurs infinitely often }\})=0$ 要求に応じ。

Answer 1

$\displaystyle p[X_n = 0] \le p\left[|X_n-n| \ge {n \over 2}\right] \le 4 {\sqrt{n} \over n^2}$ Chebyshevから。