동형이 하위 그룹의 순서를 보존합니까?

Question

나는 유일하게 가능한 동 형성을 읽었습니다. $\mathbb{Z}_7$ ...에 $\mathbb{Z}_{12}$ 모든 요소를 ​​매핑하는 $\mathbb{Z}_7$ ...에 $\{0\}$. 다른 동형이 있다면$\mathbb{Z}_7$ ...에 $\mathbb{Z}_{12}$, 중요하지 않은 하위 그룹을 매핑 할 수 있어야합니다. $\mathbb{Z}_7$, 하위 그룹 $\mathbb{Z}_{12}$. 그러나 이것은$\mathbb{Z}_{12}$ 순서의 하위 그룹을 가질 것입니다 $7$, 불가능합니다.

위의 진술에서 암시하는 것은 동형이 하위 그룹의 순서를 유지한다는 것입니다 ...하지만 이것이 일반적으로 사실입니까?

Answer 1

일반적으로 사실이 아닙니다. 허락하다$f: \mathbb Z_6 \to \mathbb Z_6$ 주어진 $f(x)=2x$. 지도$f$ 분명히 동형이지만 그룹 자체의 순서를 보존하지는 않습니다.

나는이 진술이 의미한다고 생각한다. $\mathbb Z_7$ 아르 $\{0\}$ 그리고 그룹 자체, 사소하지 않은 동형의 핵심은 $\{0\}$그래서 사소하지 않은 동형은 주입 적입니다. 이것은$\mathbb Z_7$ 그 자체의 이미지와 동형이지만 동형의 이미지는 $\mathbb Z_{12}$ 이 그룹에는 하위 그룹이 없습니다. $7$.