주문-통계 [중복]

Dec 10 2020

랜덤 변수 $X_1, X_2, . . . , X_n, Y_1, Y_2, . . . , Y_n$ 괜찮아 $\mathcal{U}(0, a)$. 분포 결정$$Z_n = n \log\bigg(\frac{\max\{X(n), Y(n)\}}{\min\{X(n), Y(n)\}}\bigg)$$ 공동 분포를 찾아야합니까? $\max$$\min$ 다음 배포를 찾습니다 $Z_n$, 우리는 두 개의 다른 랜덤 변수를 가지고 있기 때문에 그것을 수행하는 방법을 모릅니다!

답변

MatthewPilling Dec 10 2020 at 07:04

먼저 랜덤 벡터가 $\Big(X_{(n)},Y_{(n)}\Big)$ 지원됩니다 $(0,a)^2$. 가정$f$관절 밀도입니다. 이후$X_{(n)}$$Y_{(n)}$ 독립적이고 우리는 $$f(x,y)=f_{X_{(n)}}(x)f_{Y_{(n)}}(y)=n^2a^{-2n}x^{n-1}y^{n-1}$$ 어떠한 것도 $(x,y)\in (0,a)^2$. 또한 방법을 관찰하십시오$Z_n$ 지원됩니다 $[0,\infty)$, 즉 $z\geq 0$ 우리는 $$F_{Z_n}(z)=P(Z_n\leq z)=P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}<Y_{(n)}\Big)+P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}\geq Y_{(n)}\Big)$$ 약간의 대수로 우리는 $$F_{Z_n}(z)=P\Big(X_{(n)}<Y_{(n)}\leq e^{z/n}X_{(n)}\Big)+P\Big(Y_{(n)}\leq X_{(n)} \leq e^{z/n}Y_{(n)}\Big)$$ 이 확률은 이중 적분으로 쓸 수 있습니다. $$F_{Z_n}(z)=2\int_0^{a} \int_{\frac{x}{e^{z/n}}}^{x}f(x,y)dydx=1-e^{-z}$$ 보여주는 $Z_n \sim \text{Exp}(1)$.