컴팩트하게 내장 $L^p(0,1)$ 그러나 부분 공간이 아닙니다 $C^0[0,1]$
Rellich-Kondrachov 정리에 따르면 임베딩이 $H^1(0,1) \subset L^2(0,1)$ 컴팩트합니다.
다른 한편으로, Sobolev 불평등에 의해 하나는 또한 $H^1(0,1) \subset C^0[0,1]$ (사실, 심지어 $C^{0,\frac{1}{2}}$ 이 1 차원의 경우, 미적분의 기본 정리와 일부 코시-슈바르츠 주장을 사용하여).
내 질문은 다음과 같은 의미에서 "중간 부분 공간"이 존재하는지 여부입니다.
즉, 힐베르트 공간이 있습니까? $H$ 콤팩트하게 내장 된 $L^p(0,1)$ 일부 $p\geq 1$, 및의 부분 공간이 아닙니다. $C^0[0,1]$?
답변
예, 그러한 Hilbert 공간이 존재하며 분수 Sobolev 공간 의 특별한 경우입니다 . 에 대한$\alpha\in(0,1/2)$ 우리는 $H^\alpha(0,1)\subset L^2(0,1)$ 정의에 따라 단계 함수가 $1$ 의 위에 $(1/2,1)$ 과 $0$ 그렇지 않으면 $H^\alpha(0,1)$. 이 기능은 연속적이지 않기 때문에$H^\alpha(0,1)$ 삽입되지 않음 $C^0[0,1]$.
참조 바운드 개방 세트의 특징적인 기능에 있음을 증명$H^{\alpha}$ iff $\alpha < \frac{1}{2}$그리고 하려면 어떤 부분 소볼 레프 공간은 속해 단계 기능을합니까? (단계 함수의 Sobolev-Slobodeckij 규범) 을 참조하십시오.
또한 $H^\alpha(0,1)$ 콤팩트하게 삽입 $L^2(0,1)$ ...에 대한 $\alpha\in (0,1/2)$. 이것은 이 pdf의 정리 7.1 을 따릅니다 .