Bằng chứng về đề xuất 11.20 của Atiyah-Macdonald
Tôi đấu tranh với việc xác minh bất bình đẳng bậc cực được khẳng định trong chứng minh của mệnh đề 11.20. (Có thể tìm thấy toàn bộ tuyên bố và bằng chứng của mệnh đề tại đây: Atiyah-Macdonald 11.20 và 11.21 )
Câu hỏi của tôi là: làm thế nào để chứng minh sự bất bình đẳng này?
Tôi tìm thấy một số tài nguyên trực tuyến về các vấn đề khác nhau với cuốn sách, nhưng tôi không tìm thấy gì về vấn đề cụ thể này. Tôi nghĩ rằng sẽ rất hữu ích nếu một số tài liệu tham khảo về điều này cũng có sẵn, vì một câu trả lời sâu sắc có thể hữu ích cho bất kỳ ai đang cố gắng tìm hiểu chủ đề từ cuốn sách này.
Trong trường hợp quan tâm, tôi đã cố gắng của riêng mình dựa trên các giả định bổ sung sau:
- $d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$ phải tham chiếu đến thứ tự cực như khác $d$ (bậc của đa thức đặc trưng) chỉ được xác định cho các vòng cục bộ.
- Cấu trúc phân loại của vòng này là $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$, Ở đâu $\bigoplus A_n$ là tiêu chuẩn chấm điểm của $(A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]$.
CHỈNH SỬA: Tôi đoán vấn đề không đủ rõ ràng trừ khi một người hiểu khá sâu trong cuốn sách, vì vậy tôi sẽ cung cấp một bản tóm tắt ngắn về các kết quả có liên quan được tìm thấy trong Chương 11 cho đến (11,20): Đối với một chiếc nhẫn phân loại Noetherian$A$ được tạo ra như một $A_0$-algebra bởi $s$ các phần tử thuần nhất bậc 1, Định lý (11.1) phát biểu rằng chuỗi Poincaré $P(M,t) = \sum^\infty_{n=0}\lambda(M_n)t^n$ của bất kỳ phân loại nào được tạo ra từ trước $A$-môđốc $M$ có một cực của trật tự $d(M)\leq s$ tại $t=1$. Điều này đưa ra một giới hạn trên cho$d(A)$ khi lấy $M=A$. Tuy nhiên, bất bình đẳng trong (11.20) đưa ra một giới hạn dưới cho$d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$. Giới hạn dưới của thứ tự cực xuất hiện sớm hơn trong văn bản chỉ ở dạng đẳng thức, cụ thể là trong trường hợp rất chuyên biệt mà vòng được phân cấp là vòng được phân cấp liên kết$G_\mathfrak{q}(A)$ của một chiếc nhẫn địa phương Noetherian $A$wrt. một$\mathfrak{m}$-chính lý tưởng $\mathfrak{q}$ [thứ tự cực của $G_\mathfrak{q}(A)$ trong trường hợp này bằng với mờ $A$]. Do đó, khó khăn nằm ở chỗ thiếu kết quả để xác định giới hạn thấp hơn của thứ tự cực.
Trả lời
Để cho $\bigoplus A_n$ là tiêu chuẩn phân loại của $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]$. Sự đồng hình của các vòng phân loại$\bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ là chủ quan và có nhân $(\bar{f})$, vì thế $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ là sự phân loại của $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]/(\bar{f})$. $\alpha$ tạo ra một bản đồ $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ từ $(\bar{f}) \subseteq \textrm{Ker}(\alpha)$, và do đó, chúng tôi thu được các dạng đồng hình chiếu xạ sau của các vòng được phân loại: $$ \bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}. $$ Lưu ý rằng $A_n/\bar{f}A_{n-s}$ và $\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ Chúng tôi $A/\mathfrak{q}$-mô-đun cho tất cả $n$ (giả định $s > 0$), và do đó phải có độ dài hữu hạn kể từ $A/\mathfrak{q}$là Artin. Từ$\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ là hình ảnh đồng hình của $A_n/\bar{f}A_{n-s}$, chúng tôi cũng có điều đó $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$. Cuối cùng quan sát rằng kể từ$\bigoplus A_n$ được tạo ra như một $A/\mathfrak{q}$-algebra bởi $t_1,\dots,t_d$, hai vòng khác được tạo ra bởi các hình ảnh tương ứng của chúng. Vì những hình ảnh này đều đồng nhất ở mức độ 1, chúng tôi lấy từ (11,2) cho tất cả các$n$, $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1})$ là một đa thức $g(n)$ mức độ $d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) - 1$ và $l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$ là một đa thức $h(n)$ mức độ $d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) - 1$. Bây giờ kể từ$$g(n) = l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s}) = h(n)$$ cho tất cả lớn $n$, chúng ta phải có cái đó $\deg g(n) \leq \deg h(n)$, do đó $$ d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) = \deg g(n) + 1 \leq \deg h(n) + 1 = d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) $$ điều này chứng tỏ sự bất bình đẳng.