Hàm mật độ khối lượng: làm thế nào có mật độ khối lượng tại các điểm?
Chúng ta thường thảo luận về mật độ khối lượng, mật độ điện tích và các chức năng khác: $\rho(x,y)$ cho các tấm siêu mỏng và $\rho(x,y,z)$cho các đối tượng 3-d. Các đơn vị cho đầu ra của các hàm này cho biết khối lượng hoặc phí / đơn vị khối lượng như$\frac{kg}{m^3}$ hoặc là $\frac{C}{m^3}$. Tôi không thể hiểu được mật độ ở một điểm duy nhất.
Tôi nghi ngờ rằng khi chúng ta nói khối lượng trên một đơn vị thể tích "tại một điểm", chúng ta có nghĩa là khối lượng chứa trong khối lượng ngay xung quanh điểm đó. Ở đây, chúng ta nói "ngay lập tức xung quanh" theo nghĩa giải tích để thể tích tiến gần đến 0. Bằng cách này, tập hợp tất cả các điểm cùng nhau vẫn là đối tượng đầy đủ.
Điều này có chính xác? Hay tôi đã bỏ lỡ dấu ấn?
Trả lời
Khi chúng ta nói mật độ khối lượng là $\rho(x,y,z)$, chúng tôi muốn nói rằng khối lượng trong bất kỳ vùng hữu hạn nào $R$ được đưa ra bởi $$ M(R) = \int_R \rho(x,y,z)\ dx\,dy\,dz. $$ Nói cách khác, xác định mật độ khối lượng $\rho(x,y,z)$ là một cách ngắn gọn để mô tả hàm chiếm một vùng $R$ làm đầu vào và trả về khối lượng $M(R)$ trong khu vực đó dưới dạng đầu ra.
Vùng miền, quốc gia $R$có thể lớn nhỏ tùy ý nên trực giác của bạn đang đi đúng hướng. Nếu chúng ta lấy$R$là một điểm , sau đó là khối lượng$M(R)$ bằng 0, bất kể mật độ khối lượng có thể lớn đến mức nào (miễn là nó hữu hạn).
Chất (tạo nên khối lượng) là rời rạc. Chúng ta có các phân tử, nguyên tử, các hạt nhỏ hơn, v.v., ...
Có những gợi ý rằng bản thân không gian cũng rời rạc (xem về độ dài Planck), nhưng chúng ta không biết chắc.
Sau đó, một lần nữa, đôi khi (thực tế là hầu như luôn luôn) sẽ hữu ích khi tính gần đúng chất là mịn và đồng nhất trên các tỷ lệ đủ nhỏ và sử dụng toàn bộ phép tính tích phân mà chúng ta có sẵn sử dụng các số thực.
Đó là cách mật độ trở thành một trường vô hướng.
Về cơ bản, bạn đã chính xác. Khối lượng chứa trong một điểm (khi chúng ta nói về vật liệu liên tục) bằng không.
Tuy nhiên, chúng ta thực sự có thể lấy một lượng nhỏ chiều dài, diện tích hoặc thể tích, được mô tả về mặt toán học là$dx$, $dA$, hoặc là $dV$ gần bằng không. Chúng được gọi là các phần tử chiều dài, diện tích hoặc thể tích. Để tìm toàn bộ khối lượng, người ta phải tổng tất cả các tích của tất cả các mật độ khối lượng nhỏ vô hạn với các phần tử chiều dài, diện tích hoặc thể tích tại tất cả các điểm trong khối lượng trong trường hợp 1-, 2- hoặc 3d. Tổng kết này trở thành một tích phân của các sản phẩm của mật độ$\rho$ với ba yếu tố khác nhau (giả sử $\rho$ độc lập với vị trí trong $x$, $A$, hoặc là $V$):
$$m_{tot}=\int _x\rho dx,$$
cho một khối lượng trên một dòng,
$$m_{tot}=\int _A\rho dA,$$
cho một khối lượng trên bề mặt, và
$$m_{tot}=\int _V\rho dV,$$
cho một khối lượng trong một thể tích.
Nếu mật độ khối lượng phụ thuộc vào vị trí trong khối lượng, chỉ cần thay thế $\rho$ bởi $\rho (x)$, $\rho (A)$và $\rho (V)$.
Mật độ khối lượng tại một điểm được xác định theo hai cách:
- giới hạn của mật độ khối lượng trung bình trong một thể tích chứa điểm khi thể tích giảm xuống 0, và
- như một trường được tích hợp để cung cấp cho khối lượng.
Hiểu được hai định nghĩa này giống nhau như thế nào và khi nào thì cần một số lý thuyết về thước đo - lúc đó bạn học cách chúng không giống nhau.
Ví dụ về cách chúng giống nhau. Giả sử rằng mật độ khối lượng (trường) là một hằng số$1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$tại mỗi điểm đang xem xét. Để cho$x$là một điểm như vậy. Hãy để chúng tôi tính toán giới hạn của (để đơn giản) mật độ trung bình của thể tích hình cầu cho các hình cầu có tâm tại$x$. Để cho$r$ là bán kính trong $\mathrm{cm}$. Âm lượng,$V$và khối lượng, $m$, Chúng tôi \begin{align*} V(r) &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\ m(r) &= \int_{-r}^{r} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2}} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}} 1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z \\ &= \frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \text{.} \end{align*}
(Các đơn vị rõ ràng có thể làm cho khối lượng này giống như một mật độ. Hãy nhớ lại điều đó "$r$" trong "$r^3$"có các đơn vị khoảng cách hủy bỏ các đơn vị khoảng cách ở mẫu số của các đơn vị rõ ràng.)
Khi đó mật độ khối lượng ở $x$ Là $\lim_{r \rightarrow 0} \frac{\frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 1 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$. Lưu ý rằng chúng ta phải có giới hạn là$r \rightarrow 0$. Chúng tôi không thể đánh giá tỷ lệ khối lượng trên thể tích ở$r = 0$vì điều đó liên quan đến phép chia cho số không. Bây giờ một đồ thị của hàm chúng ta đang lấy một giới hạn. Từ việc hủy bỏ đại số (cho phép dưới giới hạn, nhưng không nằm ngoài giới hạn này), chúng ta mong đợi thấy một hàm hằng.
Quan điểm $(0,1)$bị bỏ qua, vì phép chia cho số không là không xác định. Để nhận được giá trị ở đó, chúng tôi sử dụng một giới hạn. Lưu ý rằng nếu trường mật độ thay đổi (dao động nhỏ xung quanh mật độ trung bình và / hoặc xu hướng đến mật độ cao hơn hoặc thấp hơn từ$x$) chúng ta sẽ thấy những biến thể này trong đường cong. Mô hình rất đơn giản này không có các tính năng như vậy.
Tôi sẽ thêm một quan điểm khác, vì câu hỏi chỉ có vẻ giống như một thứ gì đó cao cấp hoặc chỉ xuất hiện trong lĩnh vực vật lý đó: Những gì bạn đang hỏi hoàn toàn giống với nghịch lý mũi tên của Zeno:https://en.wikipedia.org/wiki/Zeno's_paradoxes#Arrow_paradox
Về cơ bản, tôi chắc rằng bạn đã quen thuộc với các đạo hàm, nhưng chúng không trực quan khi áp dụng cho các đại lượng tùy ý. Chắc chắn chúng ta có thể nói về tốc độ trung bình trong một khoảng thời gian ∆ t nào đó , và lý do rằng khi giới hạn khoảng thời gian trong một khoảng thời gian duy nhất, chúng ta nhận được tốc độ tức thời tại một thời điểm nhất định - một đại lượng hữu ích mà chúng ta biết là đã được xác định rõ.
"Nhưng để có tốc độ, bạn cần phải đi du lịch, và bạn không thể đi du lịch nếu thời gian không tiếp diễn!" Vâng, điều tương tự là không có mật độ "tức thời" trực quan (dm / dV) nếu bạn nhìn vào một điểm có khối lượng, nhưng tuy nhiên, chúng tôi làm việc với các dẫn xuất và chúng hoạt động. :)