Tính hữu ích của hình học vi phân
Gần đây tôi đã xem qua những cuốn sách này:
- Các nhóm hình học và nói dối khác biệt: Một quan điểm tính toán
- Hình học khác biệt và nhóm nói dối: Khóa học thứ hai
Chủ đề của họ thực sự làm tôi tò mò, vì tôi thực sự thích tôpô / hình học / phân tích, nhưng không có kế hoạch theo đuổi chúng vì tôi cũng muốn làm việc trong một lĩnh vực có ứng dụng rất cụ thể. Tuy nhiên, tôi hoài nghi. Có lúc tôi nghĩ rằng phân tích dữ liệu tôpô (TDA) là cuộc hôn nhân hoàn hảo theo sở thích của tôi, nhưng tôi đã tìm thấy rất ít bằng chứng về việc lĩnh vực đó thực sự được sử dụng trong khoa học máy tính, ít hơn nhiều trong các cơ sở công nghiệp hoặc các cơ sở 'thực tế' hơn. Có vẻ như TDA khiến các nhà toán học cảm thấy phù hợp hơn với thế giới khoa học dữ liệu, nhưng tôi không bị thuyết phục rằng nó khiến họ trở nên như vậy (vui lòng mâu thuẫn với tôi nếu bạn nghĩ tôi sai về điểm này, nhưng lưu ý rằng tôi muốn có một điều cụ thể trường hợp sử dụng, không phải là một đối số trừu tượng về mức độ liên quan của nó). Tôi có những câu chuyện tương tự về lý thuyết mã hóa, các khía cạnh nhất định của lý thuyết tập hợp, vân vân.Chúng có thể phù hợp về mặt lý thuyết, nhưng có tình huống nào trong quá trình phát triển phần mềm, người ta có thể cần tham khảo các lĩnh vực của luận án không? Tôi không biết về cái nào.
Vì vậy, bây giờ câu hỏi của tôi: có lĩnh vực thực tế nào của khoa học máy tính sử dụng nâng cao hình học vi phân không? Hình ảnh y tế, hình ảnh khác, đồ họa máy tính, thực tế ảo và một số lĩnh vực khác được coi là lĩnh vực ứng dụng tiềm năng. Tuy nhiên, theo kinh nghiệm (thừa nhận là hạn chế) của tôi, những lĩnh vực này dường như sử dụng hình học 3D cơ bản, đại số tuyến tính số và đôi khi là phân tích số của PDE. Đó đều là những chủ đề rất hay, nhưng chúng không đòi hỏi bất cứ thứ gì trừu tượng như hình học vi phân.
Cảm ơn trước.
Trả lời
Tôi chủ yếu thấy hình học vi phân được áp dụng cho khoa học máy tính trong các lĩnh vực con ứng dụng sau:
- Đồ họa máy tính / Xử lý hình học
- Học máy / Xử lý tín hiệu
Đối với xử lý Đồ họa / Hình học Máy tính, khuyên bạn nên tìm kiếm:
- Khóa học hình học vi phân rời rạc của Keenan Crane
- Hình dạng vi phân rời rạc cho danh sách phát CS
- Biên soạn tài liệu hình học vi phân rời rạc
Đối với Học máy / Xử lý tín hiệu, bạn nên tìm kiếm:
- Học Manifold
- Hình học thông tin
- Xử lý tín hiệu phi tuyến
- Học sâu về hình học
Ngoài ra, hãy kiểm tra câu trả lời này trong phần trao đổi Toán học, và hội nghị này Hình học vi phân sẽ gặp gỡ Học sâu
Btw Hình học vi phân hàm là một cuốn sách tuyệt vời.
Nếu bạn thấy Cấu trúc và Diễn giải Chương trình Máy tính thú vị, bạn có thể thích Hình học Vi phân Hàm (Nó của cùng tác giả).
Hình học vi phân được cho là đơn giản. Thật dễ dàng để có được câu trả lời đúng với thao tác ký hiệu không rõ ràng và không chính thức. Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi sử dụng các chương trình máy tính để truyền đạt sự hiểu biết chính xác về các phép tính trong hình học vi phân. Việc diễn đạt các phương pháp của hình học vi phân bằng ngôn ngữ máy tính buộc chúng phải rõ ràng và hiệu quả về mặt tính toán. Nhiệm vụ xây dựng một phương pháp như một chương trình thực thi được trên máy tính và gỡ lỗi chương trình đó là một bài tập mạnh mẽ trong quá trình học tập. Ngoài ra, một khi được chính thức hóa về mặt thủ tục, một ý tưởng toán học sẽ trở thành một công cụ có thể được sử dụng trực tiếp để tính toán kết quả.
Lấy từ Sussman, Wisdom: Hình học vi phân hàm
Ngày nay, mọi trường có tên "vi phân" trong đó, bằng cách nào đó được áp dụng trong mạng nơ-ron. Ví dụ, đối với hình học vi phân, bạn có thể nghĩ về kết xuất vi phân trong đồ họa máy tính.
Hiện tại, tôi đang làm việc với bài báo "Lý thuyết vi phân về truyền bức xạ" của Zhang et al.