Используйте производящие функции для решения неоднородного рекуррентного отношения
Позволять $a_0=0, a_1=2,$ и $a_2=5$. Используйте производящие функции для решения рекуррентного уравнения:$$a_{n+3} = 5a_{n+2} - 7a_{n+1}+3a_n + 2^n$$ за $n\geq0$.
Это книжная задача из Прикладной комбинаторики. Я действительно не понимаю, как решать$2^n$ часть рекуррентного отношения с использованием производящих функций.
Редактировать:
Я знаю, что мне нужно преобразовать повторение в ряды, и я разбил его на части, но мне трудно привести его в правильную форму, чтобы делать частичные дроби. Вот те уравнения, которые мне удалось получить.
Если мы позволим $A(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ - производящая функция для $a_n$ потом после расчетов у меня получилось:
$$A(x)\cdot(1-5x+7x^2-3x^3)= 12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}$$
После упрощения: $$A(x) = \frac{12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}}{1-5x+7x^2-3x^3}$$ $$= \frac{24 x^4 - 30 x^3 + 9 x^2 - 2 x}{(1-2x)(x-1)^2(3x-1)}$$
Тогда разложение на частичную дробь: $$A(x) = -\frac{8}{1-2x} + \frac{13}{4}\frac{1}{1-3x} + \frac{37}{4}\frac{1}{1-x} - \frac{1}{2} \frac{1}{(1-x)^2} - 4$$
Я попытался ввести значения, но что-то не так. Пожалуйста, дайте мне знать, где я бы ошибся.
Ответы
Вы допустили ошибку где-то при выводе производящей функции (трудно сказать, где, поскольку вы не включили эту часть), у меня есть
\begin{align} A(x)&=2x+5x^2+\sum_{n \geq 3}a_{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5\sum_{n \geq 3}a_{n-1}x^n-7\sum_{n \geq 3}a_{n-2}x^n+3\sum_{n \geq 3}a_{n-3}x^n+\sum_{n \geq 3}2^{n-3}x^n\\ &=2x+5x^2+5x\sum_{n \geq 2}a_{n}x^n-7x^2\sum_{n \geq 1}a_{n}x^n+3x^3\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n+x^3\sum_{n \geq 0}2^{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5x(A(x)-2x)-7x^2(A(x)-0)+3x^3A(x)+x^3\cdot \frac{1}{1-2x} \end{align} который решает \begin{align} A(x)&=\frac{x(11x^2-9x+2)}{(1-2x)(1-3x)(x-1)^2}\\ &=\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{3}{2}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-3x}. \end{align} Проверьте свое решение, надеюсь, вы сможете закончить его здесь.