Какими были амплитуды $\cos$а также $\sin$выбрали?
Я не понимаю, почему мы используем$\displaystyle\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}$в приведенном ниже преобразовании. Может кто-нибудь помочь объяснить?
от
$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^t\left(\cos(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\right)$$
превратиться в
$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\cos(2t)+\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\sin(2t)\right)$$
позволять$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\cos\phi$а также$\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\sin\phi$,
$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t(\cos\phi\cos(2t)+\sin\phi\sin(2t))$$
Ответы
Давайте сосредоточимся на важной части, которая имеет форму$$ f(x)=a\cos x+b\sin x $$которую мы хотим выразить как$$ f(x)=A(\cos\varphi\cos x+\sin\varphi\sin x) $$Необходимое (и достаточное) условие состоит в том, что$$ A\cos\varphi=a,\qquad A\sin\varphi=b $$и поэтому$a^2=A^2\cos^2\varphi$,$b^2=A^2\sin^2\varphi$. Следовательно$$ A^2=a^2+b^2 $$Мы хотим$A>0$(не обязательно, но удобно), поэтому получаем$$ A=\sqrt{a^2+b^2},\quad \cos\varphi=\frac{a}{A},\quad \sin\varphi=\frac{b}{A} $$Последние два требования могут быть выполнены, так как$(a/A,b/A)$является точкой на единичной окружности.
Это способ нормализовать вектор$v=(a,b)=\left(1,\frac12\right)$то есть
$$|v|=\sqrt{a^2+b^2} \implies \hat v=\frac{v}{|v|}$$
имеет длину, равную$1$и это позволяет выполнить последующее преобразование для$\cos \phi$а также$\sin \phi$.