Классификация голоморфных функций в правой полуплоскости с некоторыми условиями

Aug 17 2020

Следующая проблема возникает на старом предварительном экзамене по комплексному анализу:

Определите все аналитические функции $f: H \rightarrow \mathbb{C}$ в полуплоскости $H : = \{ z\in \mathbb{C} : \Re(z) > 0 \}$ это удовлетворяет $f(\sqrt{n}) = n$ и $|f^{(n)}(1)| \leq 3$ для всех положительных целых чисел $n$.

Ясно $f(z) = z^2$удовлетворяет этому, и я хочу показать, что это единственный пример. Обратите внимание, что$f(z) = z^2 + \epsilon \sin(\pi z^2)$ не удовлетворяют оценке производной ни для каких $\epsilon > 0$. Кроме того, оценка производной подразумевает, что любой такой$f$ является аналитическим и субэкспоненциальным с порядком 1. Я могу применить теорему Карлсона, чтобы показать, что $h(z): =f(z) - z^2$ равно нулю, но это похоже на очень тяжелый молоток для предварительной задачи.

Будем очень признательны за любые рекомендации по более простому доказательству!

Ответы

1 Conrad Aug 17 2020 at 20:34

Позволять $g(z)=f(z+1)-(z+1)^2, g(0)=0$; поскольку$|g^{(n)}(0)| \le 3, n \ge 3$ мы получаем это $g$ первоначально определено на $\Re z >-1$ распространяется на целую функцию, удовлетворяющую $|g(z)| \le 3e^{|z|}+|z+1|^2, g(\sqrt n-1)=0, n \ge 1$.

Предполагать $g$ ненулевой и $k \ge 1$ порядок нуля $g$ в $0$. Тогда если$M_g(R)= \max_{|z|=R}|g(z)| \le 4e^R, R \ge R_0$ номер $N(R) \ge [R^2]$ нулей $g$ с участием $|z|\le R$ удовлетворяет (по теореме Йенсена):

$\int_0^R \frac{N(t)-k}{t}dt+k \log R+\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log |g(Re^{it})|dt$

так что путем легкой мажоризации, используя $N(t)-k \ge [t^2]-1 \ge (t/2)^2, t \ge 10$, получается:

$R^2/8-M \le LHS \le \log 4 + R, R \ge R_0$ для некоторой постоянной $M$ который включает интеграл на LHS из $0$ сказать $10$ и $\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|$, поэтому при больших $R$