Норма суммы функциональных пространств

Question

Каково соглашение для нормы на сумме пробелов $X+Y$, а также на пересечении пространств $X\cap Y$?

Я читаю статью, в которой авторы используют сумму функциональных пространств без явного написания нормы и больше не комментируют.

Я думаю, что это, возможно, самая правдоподобная норма для $X\cap Y$ является $\|f\|_X +\|f\|_Y$ с нормой для $X+Y$ тогда будучи $\min\{\|f\|_X,\|f\|_Y\}$.

Приносим извинения, если этот вопрос повторяется, и в этом случае я буду рад его удалить. Я не смог найти аналогичный вопрос по математике stackexchange.

Answer 1

https://en.wikipedia.org/wiki/Interpolation_space

Предположим, что $X$ и $Y$ непрерывно вкладываются в хаусдорфово топологическое векторное пространство $Z$ (так что $X\cap Y$ и $X + Y$имеют смысл). Обычно используются следующие нормы:$$ {\|x\|}_{X+Y} = \inf\{{\|x_1\|}_X + {\|x_2\|}_Y : x_1 + x_2 = x \} ,$$ $$ {\|x\|}_{X\cap Y} = \max\{{\|x\|}_X,{\|x\|}_Y\} .$$ Норма для $X \cap Y$имеет смысл и эквивалентен предложенной вами норме. Для$X+Y$, минимум из двух норм, к сожалению, не является нормой.

Вместо этого подумайте о пространстве $X \oplus Y$ с нормой $\|(x,y)\| = {\|x\|}_X + {\|y\|}_Y$. Посмотрите на подпространство$U = \{(x,x): x \in X\cap Y\}$. потом$X + Y$ изоморфно факторпространству $(X \oplus Y) / U$. Это быстрое доказательство того, что$X + Y$ с указанной нормой действительно является банаховым пространством.