Внешняя алгебра и линейно независимые векторы

Question

Предположим, что $v_1,\cdots,v_r$ являются линейно независимыми векторами в некотором векторном пространстве $V$. Я хочу попробовать показать это любому$w \in \bigwedge^p(V)$ это $$ w = \sum_{i=1}^{r} v_i \wedge \psi_i $$ для некоторых $\psi_i \in \bigwedge^{p-1}(V)$ если и только если $$ v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0. $$

Прямое направление тривиально, если написать $w$как сумму и линейно продолжая произведение клина. Это второе предположение, которое доставляет мне некоторые затруднения.

Если предположить, что $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0$, то я хочу сделать вывод, что могу написать $w$ в соответствующей форме, исследуя хорошо подобранные чередующиеся, полилинейные формы из $V^{p+r}$ в некоторое векторное пространство, так что я могу использовать универсальное свойство $\bigwedge^{p+r}(V)$, и оценить индуцированную карту в $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w$ и получить $0$.

У меня проблема в том, что $w$ не обязательно является элементарным продуктом-клином, поэтому у меня нет канонического представления о нем как об элементе $V^p$. Мы будем очень благодарны за любые идеи для этого обратного направления.

Answer 1

Позволять $\{e_1,\ldots, e_k\}$ быть основой $V$ такой, что $v_i=e_i$ для $1\le i\le r$. $w\in \bigwedge^p(V) \implies$

$$w = \sum_{\alpha\in P}f_{\alpha}e_{\alpha_1}\wedge\ldots \wedge e_{\alpha_s}$$ куда $P = \{(i_1,\ldots, i_s) \mid 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_s \le k, s\leq p\}$ и я буду использовать $|\alpha|$для обозначения количества элементов в кортеже. Ясно$$v_1\wedge \cdots \wedge v_r = e_{1}\wedge\cdots \wedge e_{r}$$Итак, \ begin {align *} & v_1 \ wedge \ cdots \ wedge v_r \ wedge w = 0 \\ \ implies & e_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {r} \ wedge \ sum _ {\ alpha \ in P} f_ {\ alpha} e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} = 0 \\ \ подразумевает & \ forall \ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq 0 \ implies \ exists l_ \ alpha \ leq | \ alpha |, \ alpha_ {l_ \ alpha} \ leq r \ text {(Пусть$l_\alpha$обозначают наименьшее такое значение)} \\ \ подразумевает & w = \ sum _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0} f _ {\ alpha} e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ клин e_ {l_ \ alpha} \ wedge e _ {\ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \\ \ подразумевает & w = \ sum _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0} f _ {\ alpha} (- 1) ^ m e_ {l_ \ alpha} \ wedge e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ wedge e_ { \ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \\ \ подразумевает & w = \ sum_ {i = 1} ^ rv_ {i} \ wedge \ сумма _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0, l_ \ alpha = i} f _ {\ alpha} (- 1) ^ m \ wedge e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ wedge e _ {\ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \ end {align *} Возможно, где-то была ошибка, но идея должна быть ясной . Если у вас есть обозначение, которое вы предлагаете использовать для ясности, не стесняйтесь комментировать!