แนวทางนี้ถูกต้องหรือไม่ในการค้นหาชุดเปิดที่ใหญ่ที่สุดซึ่งฟังก์ชันนี้เป็นแบบวิเคราะห์
คำถามนี้เป็นส่วนหนึ่งของงานของฉันในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน
ค้นหาชุดเปิดที่ใหญ่ที่สุดที่ $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $ คือการวิเคราะห์
ฉันเขียน $F(t)= \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $ แล้วจึงคำนวณ $\dfrac{F(t+h)-F(t)}{h}$. จากนั้นใน$F(t+h)$ ฉันจะได้รับ $\mathrm{d}(t+h)$ ซึ่งฉันใส่เท่ากับ $\mathrm{d}t+\mathrm{d}t$. ดังนั้นฉันได้รับ$3$ ปริพันธ์
แต่มีความสับสน: ขีด จำกัด ของ $F(t)$ คือ $0$ ถึง $1$ เกิน $\mathrm{d}t$ แต่เนื่องจาก $\mathrm{d}(t+h)$ ภายในอินทิกรัลฉันได้รับขีด จำกัด $\mathrm{d}h$ ยังเท่ากับ $0$ ถึง $1$ แล้วฉันจะใส่ขีด จำกัด $h \rightarrow0$.
หลังจากนั้นจะเหลือเพียงการคำนวณเท่านั้น แนวทางของฉันถูกต้องหรือไม่? ถ้าไม่โปรดบอกฉันว่าอะไรคือข้อผิดพลาดและแนวทางที่ถูกต้องคืออะไร
ขอบคุณ !!
คำตอบ
คุณสามารถใช้กฎไลบนิซสำหรับปริพันธ์พาราเมตริก: ถ้า $D\subseteq\mathbb C$ เปิด, $f:[a,b]\times D\to\mathbb C$ เป็นไปอย่างต่อเนื่องและ $f_t(z):=f(t,z)$ กำลังวิเคราะห์อยู่ $D$ เพื่อทุกสิ่ง $t\in[a,b]$แล้ว
$$F(z):=\int_a^b f(t,z)\mathrm dt$$
กำลังวิเคราะห์อยู่ $D$. ในตัวอย่างเฉพาะของคุณ$f(t,z)=\frac{1}{1+tz}$ซึ่งเปิดการวิเคราะห์ $\mathbb C\backslash(-\infty,-1]$ เพื่อทุกสิ่ง $t\in[0,1]$, ตั้งแต่ $f_t$ มีการวิเคราะห์ทุกที่ยกเว้นที่ $z=-\frac{1}{t}$. ดังนั้นอินทิกรัลที่เป็นปัญหาคือการวิเคราะห์ในโดเมนที่ฉันกล่าวถึงและไม่ได้กำหนดไว้นอกโดเมนนั้นดังนั้นโดเมนนั้นจึงเป็นโดเมนที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นการวิเคราะห์ด้วย