สัญชาตญาณเบื้องหลัง Bures และเมตริกมุมคืออะไร?

Aug 17 2020

ฉันกำลังอ่านการวัดระยะทางเพื่อเปรียบเทียบกระบวนการควอนตัมที่แท้จริงและในอุดมคติและมีการอธิบายถึงแรงจูงใจที่อยู่เบื้องหลังเมตริก Bures และเมตริกมุม

เมตริก Bures กำหนดเป็น:

$$B(\rho,\sigma)=\sqrt{2-2 F(\rho,\sigma)}$$

เมตริกมุมถูกกำหนดให้เป็น:

$$A(\rho,\sigma)=\arccos(\sqrt{F(\rho,\sigma)})$$

ที่ไหน $F(\rho,\sigma)$ คือความเที่ยงตรงระหว่าง $\rho$ และ $\sigma$เมทริกซ์ความหนาแน่น เขาบอกว่าเราสามารถเข้าใจแรงจูงใจดังกล่าวในสถานะบริสุทธิ์: เราจะเห็นว่ามันมาจากระยะทางแบบยูคลิดตามปกติ

หากฉันทำการคำนวณดังกล่าวฉันจะกำหนดระยะทางแบบยูคลิดเป็น:

$$d(X,Y)=||X-Y||=\sqrt{\langle X-Y | X-Y \rangle}=\sqrt{2-2 Re(\langle X | Y \rangle)} $$

ในการค้นหาเมตริก Bure ฉันต้องถือว่า $\langle X | Y \rangle \geq 0$.

แต่ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น? ตัวอย่างเช่นถ้าฉันพิจารณา:

$$|\psi \rangle = | a \rangle + |b \rangle $$

ฉันไม่สามารถเปลี่ยนเฟสสัมพัทธ์ระหว่าง $|a \rangle$ และ $|b \rangle$ ตามที่ฉันต้องการ (เพราะมันจะเปลี่ยนสถานะทางกายภาพ $|\psi \rangle$). ดังนั้นถ้า$\langle a | b \rangle $ ไม่ใช่จำนวนบวกฉันเดาว่าไม่มีอะไรมากที่ฉันสามารถทำได้

จะเข้าใจสัญชาตญาณเบื้องหลังเมตริกดังกล่าวได้อย่างไร? ฉันควรพิจารณาว่าเป็นคำจำกัดความ "นามธรรม" ที่ฉันตรวจสอบได้จริงหรือไม่ว่าสอดคล้องกับสัจพจน์ของเมตริกหรือไม่ แต่มันจะแปลกตรงที่กระดาษอธิบายแรงจูงใจเบื้องหลัง

คำถามที่คล้ายกันสำหรับเมตริกมุม

[แก้ไข]: ฉันคิดว่ามันอาจมาจากการที่เราต้องการกำหนดระยะห่างระหว่างสถานะทางกายภาพ พิจารณา$|\Phi \rangle$ และ $| \Psi \rangle$สองสถานะทางกายภาพเฟสโลกของพวกเขาไม่สำคัญ ดังนั้นในการมีสูตรง่ายๆเราสามารถเลือกขั้นตอนได้$\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}$ ดังนั้น $\langle \Psi | \Phi \rangle \geq 0$ ซึ่งสอดคล้องกับขอบเขตบน: $\sup_{\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}}(Re[\langle \Psi | \Phi \rangle])=\langle \Psi | \Phi \rangle$. มันสมเหตุสมผลเพราะเราสนใจเรื่องระยะห่างระหว่างสถานะทางกายภาพและไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์ ดังนั้นเราสามารถแก้ไขขั้นตอนทั่วโลกของทั้งสองสถานะได้ตามที่เราต้องการ

มันสมเหตุสมผลไหม

คำตอบ

2 NieldeBeaudrap Aug 25 2020 at 03:48

กรอกรายละเอียดจำนวนมากเพื่อให้ได้คำตอบที่สมบูรณ์ -

เริ่มจากบทความที่เชื่อมโยงการวัดระยะทางเพื่อเปรียบเทียบกระบวนการควอนตัมที่แท้จริงและในอุดมคติ [arXiv: quant-ph / 0408063]คำจำกัดความของความเที่ยงตรงมีให้ใน Eqn (4) เป็น$$ F(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\Bigl( \!\sqrt{\sqrt{\rho} \!\phantom|\sigma \phantom|\!\!\sqrt{\rho}\phantom|}\Bigr)^2$$- ซึ่งอาจดูน่ากลัวเล็กน้อย แต่แสดงให้เห็นถึงสองสิ่งที่สำคัญเกี่ยวกับความเที่ยงตรงนั่นคือนิยามโดยทั่วไปสำหรับตัวดำเนินการความหนาแน่น (ไม่ใช่แค่เวกเตอร์สถานะ) และเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเสมอ หากคุณต้องการคำนวณหาสถานะบริสุทธิ์คำจำกัดความข้างต้นจะเทียบเท่ากับ$$ F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) = \langle\psi\vert \phi\rangle\! \langle\phi\vert \psi\rangle = \bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert^2$$ ซึ่งเป็นของจริงที่ไม่เป็นลบเสมอและโดยเฉพาะอย่างยิ่งซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับขั้นตอนใด ๆ ทั่วโลกที่คุณอาจพิจารณาสำหรับทั้งรัฐ $\lvert \psi \rangle$ หรือ $\lvert \phi \rangle$ (ซึ่งไม่ใช่ข้อมูลทางกายภาพเกี่ยวกับรัฐ)

เมตริก Bures (จากคอลัมน์ที่สองของหน้าที่ 4) คือ $$ B(\rho,\sigma) = \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\rho,\sigma)}} $$ ซึ่งสำหรับสถานะบริสุทธิ์จะทำให้ง่ายขึ้น $$\begin{aligned} B(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) &= \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert)}} \\&= \sqrt{2 - 2\bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert} \\&= \sqrt{2 - 2 \max \langle\psi'\vert \phi'\rangle},\end{aligned} $$ โดยที่ค่าสูงสุดถูกยึดทับเวกเตอร์หน่วย $\lvert \psi'\rangle \propto \lvert \psi\rangle$ และ $\lvert \phi'\rangle \propto \lvert \phi\rangle$.

คุณถาม (อย่างไม่มีเหตุผล) ว่าทำไมสำหรับรัฐที่บริสุทธิ์คุณจะใช้ค่าสัมบูรณ์ $\lvert \langle \psi \vert \phi \rangle \rvert$แทนที่จะเป็นส่วนจริง $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ อย่างที่คุณทำถ้าคุณจัดการโดยตรงกับผลิตภัณฑ์ภายในของเวกเตอร์ $\lvert \psi \rangle$ และ $\lvert \phi \rangle$. คำตอบคือเนื่องจากเราสนใจในสถานะและไม่ได้อยู่ในเวกเตอร์เฉพาะที่แสดงถึงสถานะเหล่านั้นการทำงานโดยตรงกับเวกเตอร์สถานะจึงไม่จำเป็นต้องให้คำตอบที่สมเหตุสมผล สำหรับรัฐ$\lvert \phi' \rangle \propto \lvert \phi \rangle$ค่าของ $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ และ $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi' \rangle$ มักจะไม่เหมือนกัน - แต่ไม่ว่าเราจะใช้ $\lvert \phi' \rangle$ หรือ $\lvert \phi \rangle$ในการเป็นตัวแทนของรัฐควรเป็นทางเลือกตามอำเภอใจล้วนๆโดยไม่มีผลกระทบต่อฟิสิกส์หรือการวิเคราะห์ฟิสิกส์ของเรา ทางเลือกของสูตรใด ๆ ควรมีเสถียรภาพภายใต้ตัวเลือกที่กำหนดเองและยิ่งไปกว่านั้น (สำหรับเมตริก) ควรให้ค่า$0$ ถ้าเราจะพิจารณาวิธีต่างๆ $\lvert \phi' \rangle$ และ $\lvert \phi \rangle$ เพื่อแสดงสถานะเดียวกัน

โปรดจำไว้ว่าในตอนท้ายของวันคำพูดของพวกเขาเกี่ยวกับการทำให้เมตริกแบบยูคลิดง่ายขึ้นนั้นน่าจะเป็นความพยายามอย่างรวดเร็วในการให้สัญชาตญาณแทนที่จะเป็นความพยายามอย่างจริงจังในการแถลงอย่างเป็นทางการ อย่างไรก็ตามมีความรู้สึกว่าการใช้ค่าสัมบูรณ์ (หรือถ้าคุณต้องการผลพลอยได้สูงสุดระหว่างสถานะที่เท่ากันจนถึงระยะทั่วโลก) เป็นแนวทางที่ถูกต้องในการพิจารณาความเชื่อมโยงกับ "ระยะห่างแบบยุคลิด" ระหว่าง "รัฐ" และ ฉันคาดหวังว่านี่คือสิ่งที่พวกเขามีอยู่ในใจ