Comunicación analógica: moduladores AM
En este capítulo, analicemos los moduladores, que generan ondas moduladas en amplitud. Los siguientes dos moduladores generan ondas AM.
- Modulador de ley cuadrada
- Modulador de conmutación
Modulador de ley cuadrada
A continuación se muestra el diagrama de bloques del modulador de ley cuadrada.
Deje que las señales de modulación y portadora se denoten como $ m \ left (t \ right) $ y $ A \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ respectivamente. Estas dos señales se aplican como entradas al bloque sumador. Este bloque de verano produce una salida, que es la adición de la señal de modulación y portadora. Matemáticamente, podemos escribirlo como
$$ V_1t = m \ left (t \ right) + A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Esta señal $ V_1t $ se aplica como entrada a un dispositivo no lineal como un diodo. Las características del diodo están estrechamente relacionadas con la ley del cuadrado.
$ V_2t = k_1V_1 \ left (t \ right) + k_2V_1 ^ 2 \ left (t \ right) $ (Ecuación 1)
Donde $ k_1 $ y $ k_2 $ son constantes.
Sustituye $ V_1 \ left (t \ right) $ en la Ecuación 1
$$ V_2 \ left (t \ right) = k_1 \ left [m \ left (t \ right) + A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] + k_2 \ left [m \ left (t \ right) + A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] ^ 2 $$
$ \ Rightarrow V_2 \ left (t \ right) = k_1 m \ left (t \ right) + k_1 A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + k_2 m ^ 2 \ left (t \ right) + $
$ k_2A_c ^ 2 \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ right) + 2k_2m \ left (t \ right) A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $
$ \ Rightarrow V_2 \ left (t \ right) = k_1 m \ left (t \ right) + k_2 m ^ 2 \ left (t \ right) + k_2 A ^ 2_c \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ derecha) + $
$ k_1A_c \ left [1+ \ left (\ frac {2k_2} {k_1} \ right) m \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $
El último término de la ecuación anterior representa la onda AM deseada y los primeros tres términos de la ecuación anterior no son deseados. Entonces, con la ayuda del filtro de paso de banda, podemos pasar solo la onda AM y eliminar los primeros tres términos.
Por lo tanto, la salida del modulador de ley cuadrada es
$$ s \ left (t \ right) = k_1A_c \ left [1+ \ left (\ frac {2k_2} {k_1} \ right) m \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
La ecuación estándar de la onda AM es
$$ s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + k_am \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Donde, $ K_a $ es la sensibilidad de amplitud
Al comparar la salida del modulador de ley cuadrada con la ecuación estándar de la onda AM, obtendremos el factor de escala como $ k_1 $ y la sensibilidad de amplitud $ k_a $ como $ \ frac {2k_2} {k1} $.
Modulador de conmutación
A continuación se muestra el diagrama de bloques del modulador de conmutación.
El modulador de conmutación es similar al modulador de ley cuadrada. La única diferencia es que en el modulador de ley cuadrada, el diodo funciona en un modo no lineal, mientras que, en el modulador de conmutación, el diodo tiene que funcionar como un interruptor ideal.
Deje que las señales de modulación y portadora se denoten como $ m \ left (t \ right) $ y $ c \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ respectivamente. Estas dos señales se aplican como entradas al bloque sumador. El bloque de verano produce una salida, que es la adición de señales portadoras y moduladoras. Matemáticamente, podemos escribirlo como
$$ V_1 \ left (t \ right) = m \ left (t \ right) + c \ left (t \ right) = m \ left (t \ right) + A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right ) $$
Esta señal $ V_1 \ left (t \ right) $ se aplica como entrada de diodo. Suponga que la magnitud de la señal moduladora es muy pequeña en comparación con la amplitud de la señal portadora $ A_c $. Entonces, la acción de ENCENDIDO y APAGADO del diodo está controlada por la señal portadora $ c \ left (t \ right) $. Esto significa que el diodo estará polarizado hacia adelante cuando $ c \ left (t \ right)> 0 $ y estará polarizado hacia atrás cuando $ c \ left (t \ right) <0 $.
Por lo tanto, la salida del diodo es
$$ V_2 \ left (t \ right) = \ left \ {\ begin {matrix} V_1 \ left (t \ right) & if & c \ left (t \ right)> 0 \\ 0 & if & c \ left (t \ right) <0 \ end {matriz} \ right. $$
Podemos aproximar esto como
$ V_2 \ left (t \ right) = V_1 \ left (t \ right) x \ left (t \ right) $ (Ecuación 2)
Donde, $ x \ left (t \ right) $ es un tren de pulsos periódico con un período de tiempo $ T = \ frac {1} {f_c} $
La representación en serie de Fourier de este tren de pulsos periódico es
$$ x \ left (t \ right) = \ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ derecha) ^ n-1} {2n-1} \ cos \ left (2 \ pi \ left (2n-1 \ right) f_ct \ right) $$
$$ \ Rightarrow x \ left (t \ right) = \ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) - \ frac {2} { 3 \ pi} \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) + .... $$
Sustituya los valores $ V_1 \ left (t \ right) $ y $ x \ left (t \ right) $ en la Ecuación 2.
$ V_2 \ left (t \ right) = \ left [m \ left (t \ right) + A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] \ left [\ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) - \ frac {2} {3 \ pi} \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) + ..... \ right] $
$ V_2 \ left (t \ right) = \ frac {m \ left (t \ right)} {2} + \ frac {A_c} {2} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac { 2m \ left (t \ right)} {\ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {2A_c} {\ pi} \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ right) - PS
$ \ frac {2m \ left (t \ right)} {3 \ pi} \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) - \ frac {2A_c} {3 \ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) + ..... $
$ V_2 \ left (t \ right) = \ frac {A_c} {2} \ left (1+ \ left (\ frac {4} {\ pi A_c} \ right) m \ left (t \ right) \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {m \ left (t \ right)} {2} + \ frac {2A_c} {\ pi} \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ derecha) - $
$ \ frac {2m \ left (t \ right)} {3 \ pi} \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) - \ frac {2A_c} {3 \ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) + ..... $
El primer término de la ecuación anterior representa la onda AM deseada y los términos restantes son términos no deseados. Por lo tanto, con la ayuda del filtro de paso de banda, podemos pasar solo la onda AM y eliminar los términos restantes.
Por lo tanto, la salida del modulador de conmutación es
$$ s \ left (t \ right) = \ frac {A_c} {2} \ left (1+ \ left (\ frac {4} {\ pi A_c} \ right) m \ left (t \ right) \ right ) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Sabemos que la ecuación estándar de la onda AM es
$$ s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + k_am \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Donde, $ k_a $ es la sensibilidad de amplitud.
Al comparar la salida del modulador de conmutación con la ecuación estándar de onda AM, obtendremos el factor de escala como 0.5 y la sensibilidad de amplitud $ k_a $ como $ \ frac {4} {\ pi A_c} $.