Inducción matemática
Mathematical induction, es una técnica para probar resultados o establecer declaraciones para números naturales. Esta parte ilustra el método a través de una variedad de ejemplos.
Definición
Mathematical Induction es una técnica matemática que se utiliza para demostrar que un enunciado, una fórmula o un teorema es verdadero para cada número natural.
La técnica implica dos pasos para probar una declaración, como se indica a continuación:
Step 1(Base step) - Prueba que una afirmación es verdadera para el valor inicial.
Step 2(Inductive step)- Demuestra que si el enunciado es verdadero para la enésima iteración (o el número n ), entonces también lo es para (n + 1) la iteración (o el número n + 1 ).
Cómo hacerlo
Step 1- Considere un valor inicial para el cual la afirmación es verdadera. Debe demostrarse que la afirmación es verdadera para n = valor inicial.
Step 2- Suponga que la afirmación es verdadera para cualquier valor de n = k . Luego demuestre que el enunciado es verdadero para n = k + 1 . De hecho, dividimos n = k + 1 en dos partes, una parte es n = k (que ya está probada) y tratamos de probar la otra parte.
Problema 1
$ 3 ^ n-1 $ es un múltiplo de 2 para n = 1, 2, ...
Solution
Step 1 - Para $ n = 1, 3 ^ 1-1 = 3-1 = 2 $ que es múltiplo de 2
Step 2 - Supongamos que $ 3 ^ n-1 $ es cierto para $ n = k $, por lo tanto, $ 3 ^ k -1 $ es cierto (es una suposición)
Tenemos que demostrar que $ 3 ^ {k + 1} -1 $ también es múltiplo de 2
$ 3 ^ {k + 1} - 1 = 3 \ times 3 ^ k - 1 = (2 \ times 3 ^ k) + (3 ^ k - 1) $
La primera parte $ (2 \ times 3k) $ seguramente será un múltiplo de 2 y la segunda parte $ (3k -1) $ también es cierta como nuestra suposición anterior.
Por tanto, $ 3 ^ {k + 1} - 1 $ es un múltiplo de 2.
Entonces, se demuestra que $ 3 ^ n - 1 $ es un múltiplo de 2.
Problema 2
$ 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n ^ 2 $ para $ n = 1, 2, \ dots $
Solution
Step 1 - Para $ n = 1, 1 = 1 ^ 2 $, Por lo tanto, se cumple el paso 1.
Step 2 - Supongamos que la afirmación es verdadera para $ n = k $.
Por lo tanto, $ 1 + 3 + 5 + \ dots + (2k-1) = k ^ 2 $ es cierto (es una suposición)
Tenemos que demostrar que $ 1 + 3 + 5 + ... + (2 (k + 1) -1) = (k + 1) ^ 2 $ también se cumple
$ 1 + 3 + 5 + \ puntos + (2 (k + 1) - 1) $
$ = 1 + 3 + 5 + \ puntos + (2k + 2-1) $
$ = 1 + 3 + 5 + \ puntos + (2k + 1) $
$ = 1 + 3 + 5 + \ puntos + (2k - 1) + (2k + 1) $
$ = k ^ 2 + (2k + 1) $
$ = (k + 1) ^ 2 $
Entonces, $ 1 + 3 + 5 + \ dots + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) ^ 2 $ hold que satisface el paso 2.
Por tanto, se demuestra $ 1 + 3 + 5 + \ dots + (2n - 1) = n ^ 2 $.
Problema 3
Demuestre que $ (ab) ^ n = a ^ nb ^ n $ es cierto para cada número natural $ n $
Solution
Step 1 - Para $ n = 1, (ab) ^ 1 = a ^ 1b ^ 1 = ab $, Por lo tanto, se cumple el paso 1.
Step 2 - Supongamos que el enunciado es verdadero para $ n = k $, por lo tanto, $ (ab) ^ k = a ^ kb ^ k $ es verdadero (es una suposición).
Tenemos que demostrar que $ (ab) ^ {k + 1} = a ^ {k + 1} b ^ {k + 1} $ también se cumple
Dado, $ (ab) ^ k = a ^ kb ^ k $
O $ (ab) ^ k (ab) = (a ^ kb ^ k) (ab) $ [Multiplicar ambos lados por 'ab']
O $ (ab) ^ {k + 1} = (aa ^ k) (bb ^ k) $
O $ (ab) ^ {k + 1} = (a ^ {k + 1} b ^ {k + 1}) $
Por tanto, se prueba el paso 2.
Entonces, $ (ab) ^ n = a ^ nb ^ n $ es cierto para cada número natural n.
Inducción fuerte
La inducción fuerte es otra forma de inducción matemática. A través de esta técnica de inducción, podemos probar que una función proposicional, $ P (n) $ es verdadera para todos los enteros positivos, $ n $, usando los siguientes pasos:
Step 1(Base step) - Prueba que la proposición inicial $ P (1) $ verdadera.
Step 2(Inductive step) - Demuestra que el enunciado condicional $ [P (1) \ land P (2) \ land P (3) \ land \ dots \ land P (k)] → P (k + 1) $ es verdadero para enteros positivos $ k $.