Point de référence dans l'extension de Taylor

Question

Dis que je veux trouver l'extension Taylor sur le point $x_0=1$ de la fonction $f(x)=e^{2x}$. En suivant la formule standard, nous obtenons les premiers termes suivants.

$$ f(x) = e^{2} + 2e^{2}(x-1) + \frac{4e^{2}(x-1)^2}{2} + \ldots . $$

Cependant, je vois parfois mon professeur utiliser cette notation pour l'extension de Taylor ci-dessus.

$$ f(1+\epsilon ) = e^{2} + 2e^{2}\epsilon + \frac{4e^{2}\epsilon^2}{2} + \ldots . $$

Selon moi, la seule différence est le point de référence, c'est-à-dire que dans la première formulation, le point de référence est $0$ et dans le second c'est $1.$ Quel est le plus correct à utiliser?

Answer 1

Ni l'un ni l'autre n'est plus correct. Vous pouvez demander la série Taylor à tout moment. Cela peut exister ou non. S'il existe, il convergera dans un rayon de la distance vers la singularité la plus proche. Vos deux fonctions sont réellement analytiques, ce qui signifie que la série de Taylor aux deux points existe et équivaut à la fonction, partout.

La formule de la série Taylor centrée au point $a$, est $f(x)=\sum_{n\ge0}f^{(n)}(a)(x-a)^n/n!$.

Pour prendre un exemple différent, l'inverse de $e^x$, $\ln x$, cela finit par faire un peu plus la différence lorsque vous demandez la série Taylor, car elle n'est pas toujours définie. On considère souvent$\ln(1+x)$, pour éviter la singularité à $0$.