Comunicazione analogica - Modulatori AM
In questo capitolo, parliamo dei modulatori, che generano un'onda modulata in ampiezza. I due modulatori seguenti generano un'onda AM.
- Modulatore di legge quadrata
- Modulatore di commutazione
Square Law Modulator
Di seguito è riportato lo schema a blocchi del modulatore di legge quadrata
Siano indicati rispettivamente $ m \ left (t \ right) $ e $ A \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ i segnali modulanti e portanti. Questi due segnali vengono applicati come input al blocco estivo (sommatore). Questo blocco estivo produce un'uscita, che è l'aggiunta del segnale modulante e portante. Matematicamente, possiamo scriverlo come
$$ V_1t = m \ sinistra (t \ destra) + A_c \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) $$
Questo segnale $ V_1t $ viene applicato come ingresso a un dispositivo non lineare come un diodo. Le caratteristiche del diodo sono strettamente correlate alla legge del quadrato.
$ V_2t = k_1V_1 \ sinistra (t \ destra) + k_2V_1 ^ 2 \ sinistra (t \ destra) $ (Equazione 1)
Dove $ k_1 $ e $ k_2 $ sono costanti.
Sostituisci $ V_1 \ sinistra (t \ destra) $ nell'equazione 1
$$ V_2 \ sinistra (t \ destra) = k_1 \ sinistra [m \ sinistra (t \ destra) + A_c \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) \ destra] + k_2 \ sinistra [m \ sinistra (t \ right) + A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] ^ 2 $$
$ \ Freccia destra V_2 \ sinistra (t \ destra) = k_1 m \ sinistra (t \ destra) + k_1 A_c \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) + k_2 m ^ 2 \ sinistra (t \ destra) + $
$ k_2A_c ^ 2 \ cos ^ 2 \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) + 2k_2m \ sinistra (t \ destra) A_c \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) $
$ \ Freccia destra V_2 \ sinistra (t \ destra) = k_1 m \ sinistra (t \ destra) + k_2 m ^ 2 \ sinistra (t \ destra) + k_2 A ^ 2_c \ cos ^ 2 \ sinistra (2 \ pi f_ct \ a destra) + $
$ k_1A_c \ left [1+ \ left (\ frac {2k_2} {k_1} \ right) m \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $
L'ultimo termine dell'equazione di cui sopra rappresenta l'onda AM desiderata ei primi tre termini dell'equazione di cui sopra sono indesiderati. Quindi, con l'aiuto del filtro passa banda, possiamo passare solo l'onda AM ed eliminare i primi tre termini.
Pertanto, l'output del modulatore di legge quadrata è
$$ s \ left (t \ right) = k_1A_c \ left [1+ \ left (\ frac {2k_2} {k_1} \ right) m \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
L'equazione standard dell'onda AM è
$$ s \ sinistra (t \ destra) = A_c \ sinistra [1 + k_am \ sinistra (t \ destra) \ destra] \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) $$
Dove, $ K_a $ è la sensibilità all'ampiezza
Confrontando l'output del modulatore di legge quadrata con l'equazione standard dell'onda AM, otterremo il fattore di scala come $ k_1 $ e la sensibilità all'ampiezza $ k_a $ come $ \ frac {2k_2} {k1} $.
Modulatore di commutazione
Di seguito è riportato lo schema a blocchi del modulatore di commutazione.
Il modulatore di commutazione è simile al modulatore di legge quadrata. L'unica differenza è che nel modulatore a legge quadrata il diodo funziona in modo non lineare, mentre nel modulatore a commutazione il diodo deve funzionare come un interruttore ideale.
Lasciate che i segnali modulanti e portanti siano indicati rispettivamente come $ m \ sinistra (t \ destra) $ e $ c \ sinistra (t \ destra) = A_c \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) $. Questi due segnali vengono applicati come input al blocco estivo (sommatore). Il blocco estivo produce un'uscita, che è l'aggiunta di segnali modulanti e portanti. Matematicamente, possiamo scriverlo come
$$ V_1 \ sinistra (t \ destra) = m \ sinistra (t \ destra) + c \ sinistra (t \ destra) = m \ sinistra (t \ destra) + A_c \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra ) $$
Questo segnale $ V_1 \ left (t \ right) $ viene applicato come ingresso del diodo. Supponiamo che l'ampiezza del segnale modulante sia molto piccola se confrontata con l'ampiezza del segnale portante $ A_c $. Quindi, l'azione ON e OFF del diodo è controllata dal segnale portante $ c \ left (t \ right) $. Ciò significa che il diodo sarà polarizzato in avanti quando $ c \ sinistra (t \ destra)> 0 $ e sarà polarizzato inversamente quando $ c \ sinistra (t \ destra) <0 $.
Pertanto, l'uscita del diodo è
$$ V_2 \ left (t \ right) = \ left \ {\ begin {matrix} V_1 \ left (t \ right) & if & c \ left (t \ right)> 0 \\ 0 & if & c \ left (t \ right) <0 \ end {matrix} \ right. $$
Possiamo approssimarlo come
$ V_2 \ sinistra (t \ destra) = V_1 \ sinistra (t \ destra) x \ sinistra (t \ destra) $ (Equazione 2)
Dove, $ x \ left (t \ right) $ è un treno di impulsi periodici con periodo di tempo $ T = \ frac {1} {f_c} $
La rappresentazione in serie di Fourier di questo treno di impulsi periodici è
$$ x \ left (t \ right) = \ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ destra) ^ n-1} {2n-1} \ cos \ sinistra (2 \ pi \ sinistra (2n-1 \ destra) f_ct \ destra) $$
$$ \ Rightarrow x \ left (t \ right) = \ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) - \ frac {2} { 3 \ pi} \ cos \ sinistra (6 \ pi f_ct \ destra) + .... $$
Sostituisci, $ V_1 \ sinistra (t \ destra) $ e $ x \ sinistra (t \ destra) $ valori nell'equazione 2.
$ V_2 \ sinistra (t \ destra) = \ sinistra [m \ sinistra (t \ destra) + A_c \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) \ destra] \ sinistra [\ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) - \ frac {2} {3 \ pi} \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) + ..... \ right] $
$ V_2 \ left (t \ right) = \ frac {m \ left (t \ right)} {2} + \ frac {A_c} {2} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac { 2m \ sinistra (t \ destra)} {\ pi} \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) + \ frac {2A_c} {\ pi} \ cos ^ 2 \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) - $
$ \ frac {2m \ left (t \ right)} {3 \ pi} \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) - \ frac {2A_c} {3 \ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ destra) \ cos \ sinistra (6 \ pi f_ct \ destra) + ..... $
$ V_2 \ sinistra (t \ destra) = \ frac {A_c} {2} \ sinistra (1+ \ sinistra (\ frac {4} {\ pi A_c} \ destra) m \ sinistra (t \ destra) \ destra) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {m \ left (t \ right)} {2} + \ frac {2A_c} {\ pi} \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ a destra) - $
$ \ frac {2m \ left (t \ right)} {3 \ pi} \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) - \ frac {2A_c} {3 \ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ destra) \ cos \ sinistra (6 \ pi f_ct \ destra) + ..... $
Il primo termine dell'equazione di cui sopra rappresenta l'onda AM desiderata e i termini rimanenti sono termini indesiderati. Quindi, con l'aiuto del filtro passa banda, possiamo passare solo l'onda AM ed eliminare i termini rimanenti.
Pertanto, l'uscita del modulatore di commutazione è
$$ s \ left (t \ right) = \ frac {A_c} {2} \ left (1+ \ left (\ frac {4} {\ pi A_c} \ right) m \ left (t \ right) \ right ) \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) $$
Sappiamo che l'equazione standard dell'onda AM è
$$ s \ sinistra (t \ destra) = A_c \ sinistra [1 + k_am \ sinistra (t \ destra) \ destra] \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) $$
Dove, $ k_a $ è la sensibilità all'ampiezza.
Confrontando l'uscita del modulatore di commutazione con l'equazione standard dell'onda AM, otterremo il fattore di scala di 0,5 e la sensibilità di ampiezza $ k_a $ come $ \ frac {4} {\ pi A_c} $.