Comunicazione analogica - Calcoli SNR
In questo capitolo, calcoliamo i rapporti segnale / rumore e la figura di merito di varie onde modulate, che vengono demodulate nel ricevitore.
Rapporto segnale-rumore
Signal-to-Noise Ratio (SNR)è il rapporto tra la potenza del segnale e la potenza del rumore. Maggiore è il valore di SNR, maggiore sarà la qualità dell'output ricevuto.
Il rapporto segnale / rumore in diversi punti può essere calcolato utilizzando le seguenti formule.
Input SNR = $ \ left (SNR \ right) _I = \ frac {Average \: \: power \: \: of \: \: modulating \: \: signal} {Average \: \: power \: \: of \: \: noise \: \: at \: \: input} $
Output SNR = $ \ left (SNR \ right) _O = \ frac {Average \: \: power \: \: of \: \: demodulated \: \: signal} {Average \: \: power \: \: of \: \: noise \: \: at \: \: output} $
Channel SNR = $ \ left (SNR \ right) _C = \ frac {Average \: \: power \: \: of \: \: modulated \: \: signal} {Average \: \: power \: \: of \: \: noise \: \: in \: \: message \: \: bandwidth} $
Persona di merito
Il rapporto tra SNR in uscita e SNR in ingresso può essere definito come Figure of Merit. È indicato daF. Descrive le prestazioni di un dispositivo.
$$ F = \ frac {\ sinistra (SNR \ destra) _O} {\ sinistra (SNR \ destra) _I} $$
La figura di merito di un ricevitore è
$$ F = \ frac {\ sinistra (SNR \ destra) _O} {\ sinistra (SNR \ destra) _C} $$
È così perché per un ricevitore, il canale è l'ingresso.
Calcoli SNR nel sistema AM
Considerare il seguente modello di ricevitore del sistema AM per analizzare il rumore.
Sappiamo che l'onda modulata in ampiezza (AM) lo è
$$ s \ sinistra (t \ destra) = A_c \ sinistra [1 + k_am \ sinistra (t \ destra) \ destra] \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) $$
$$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + A_ck_am \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
La potenza media dell'onda AM è
$$ P_s = \ left (\ frac {A_c} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {A_ck_am \ left (t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a}} ^ {2} P} {2} $ $
$$ \ Rightarrow P_s = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} \ left (1+ {k_ {a}} ^ {2} P \ right)} {2} $$
La potenza media del rumore nella larghezza di banda del messaggio è
$$ P_ {nc} = WN_0 $$
Sostituisci, questi valori in channel SNR formula
$$ \ left (SNR \ right) _ {C, AM} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: AM \: \: Wave} {Average \: \: Power \: \: di \: \: noise \: \: in \: \: messaggio \: \: bandwidth} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {C, AM} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} \ left (1+ {k_ {a}} ^ {2} \ right) P } {2WN_0} $$
Dove,
P è la potenza del segnale del messaggio = $ \ frac {{A_ {m}} ^ {2}} {2} $
W è la larghezza di banda del messaggio
Supponiamo che il rumore passa banda sia mescolato con l'onda AM nel canale come mostrato nella figura sopra. Questa combinazione viene applicata all'ingresso del demodulatore AM. Quindi, l'ingresso del demodulatore AM è.
$$ v \ sinistra (t \ destra) = s \ sinistra (t \ destra) + n \ sinistra (t \ destra) $$
$ \ Freccia destra v \ sinistra (t \ destra) = A_c \ sinistra [1 + k_am \ sinistra (t \ destra) \ destra] \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) + $
$ \ sinistra [n_1 \ sinistra (t \ destra) \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) - n_Q \ sinistra (t \ destra) \ sin \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) \ destra] $
$ \ Freccia destra v \ sinistra (t \ destra) = \ sinistra [A_c + A_ck_am \ sinistra (t \ destra) + n_1 \ sinistra (t \ destra) \ destra] \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) - n_Q \ sinistra (t \ destra) \ sin \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) $
Dove $ n_I \ left (t \ right) $ e $ n_Q \ left (t \ right) $ sono nelle componenti di fase e quadratura del rumore.
L'uscita del demodulatore AM non è altro che l'inviluppo del segnale di cui sopra.
$$ d \ sinistra (t \ destra) = \ sqrt {\ sinistra [A_c + A_cK_am \ sinistra (t \ destra) + n_I \ sinistra (t \ destra) \ destra] ^ 2 + \ sinistra (n_Q \ sinistra (t \ right) \ right) ^ 2} $$
$$ \ Freccia destra d \ sinistra (t \ destra) \ circa A_c + A_ck_am \ sinistra (t \ destra) + n_1 \ sinistra (t \ destra) $$
La potenza media del segnale demodulato è
$$ P_m = \ left (\ frac {A_ck_am \ left (t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a} } ^ {2} P} {2} $$
La potenza media del rumore in uscita è
$$ P_no = WN_0 $$
Sostituisci, questi valori in output SNR formula.
$$ \ left (SNR \ right) _ {O, AM} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: demodulated \: \: signal} {Average \: \: Power \: \: of \: \: noise \: \: at \: \: Output} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {O, AM} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a}} ^ {2} P} {2WN_0} $$
Sostituisci, i valori in Figure of merit della formula del ricevitore AM.
$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _ {O, AM}} {\ left (SNR \ right) _ {C, AM}} $$
$$ \ Rightarrow F = \ left (\ frac {{A_ {c} ^ {2}} {k_ {a} ^ {2}} P} {2WN_0} \ right) / \ left (\ frac {{A_ { c}} ^ {2} \ sinistra (1+ {k_ {a}} ^ {2} \ destra) P} {2WN_0} \ destra) $$
$$ \ Rightarrow F = \ frac {{K_ {a}} ^ {2} P} {1+ {K_ {a}} ^ {2} P} $$
Pertanto, la Figura di merito del ricevitore AM è inferiore a uno.
Calcoli SNR nel sistema DSBSC
Considerare il seguente modello di ricevitore del sistema DSBSC per analizzare il rumore.
Sappiamo che l'onda modulata DSBSC lo è
$$ s \ sinistra (t \ destra) = A_cm \ sinistra (t \ destra) \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) $$
La potenza media dell'onda modulata DSBSC è
$$ P_s = \ left (\ frac {A_cm \ left (t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2} $$
La potenza media del rumore nella larghezza di banda del messaggio è
$$ P_ {nc} = WN_0 $$
Sostituisci, questi valori in channel SNR formula.
$$ \ left (SNR \ right) _ {C, DSBSC} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: DSBSC \: \: modulated \: \: wave} {Average \: \: Power \: \: of \: \: noise \: \: in \: \: message \: \: bandwidth} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {C, DSBSC} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} $$
Supponiamo che il rumore passa banda sia mescolato con l'onda modulata DSBSC nel canale come mostrato nella figura sopra. Questa combinazione viene applicata come uno degli ingressi al modulatore del prodotto. Quindi, l'ingresso di questo modulatore del prodotto è
$$ v_1 \ sinistra (t \ destra) = s \ sinistra (t \ destra) + n \ sinistra (t \ destra) $$
$$ \ Rightarrow v_1 \ left (t \ right) = A_cm \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ left [n_I \ left (t \ right) \ cos \ left ( 2 \ pi f_ct \ right) - n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] $$
$$ \ Rightarrow v_1 \ left (t \ right) = \ left [A_cm \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) -n_Q \ sinistra (t \ destra) \ sin \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) $$
L'oscillatore locale genera il segnale portante $ c \ left (t \ right) = \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $. Questo segnale viene applicato come un altro ingresso al modulatore del prodotto. Pertanto, il modulatore del prodotto produce un output, che è il prodotto di $ v_1 \ left (t \ right) $ e $ c \ left (t \ right) $.
$$ v_2 \ sinistra (t \ destra) = v_1 \ sinistra (t \ destra) c \ sinistra (t \ destra) $$
Sostituisci i valori $ v_1 \ left (t \ right) $ e $ c \ left (t \ right) $ nell'equazione precedente.
$$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ left (\ left [A_cm \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right ) - n_Q \ sinistra (t \ destra) \ sin \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) \ destra) \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) $$
$$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ left [A_c m \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ right ) -n_Q \ sinistra (t \ destra) \ sin \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) $$
$$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ left [A_c m \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ left (\ frac {1+ \ cos \ left ( 4 \ pi f_ct \ right)} {2} \ right) -n_Q \ left (t \ right) \ frac {\ sin \ left (4 \ pi f_ct \ right)} {2} $$
Quando il segnale di cui sopra viene applicato come ingresso al filtro passa basso, otterremo l'uscita del filtro passa basso come
$$ d \ left (t \ right) = \ frac {\ left [A_c m \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right]} {2} $$
La potenza media del segnale demodulato è
$$ P_m = \ left (\ frac {A_cm \ left (t \ right)} {2 \ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {8 } $$
La potenza media del rumore in uscita è
$$ P_ {no} = \ frac {WN_0} {4} $$
Sostituisci, questi valori in output SNR formula.
$$ \ left (SNR \ right) _ {O, DSBSC} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: demodulated \: \: signal} {Average \: \: Power \: \: of \: \: noise \: \: at \: \: Output} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {O, DSBSC} = \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {8} \ right) / \ left (\ frac {WN_0 } {4} \ right) = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} $$
Sostituisci, i valori in Figure of merit della formula del ricevitore DSBSC.
$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _ {O, DSBSC}} {\ left (SNR \ right) _ {C, DSBSC}} $$
$$ \ Rightarrow F = \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} \ right) / \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} { 2WN_0} \ right) $$
$$ \ Rightarrow F = 1 $$
Pertanto, la Figura di merito del ricevitore DSBSC è 1.
Calcoli SNR nel sistema SSBSC
Considera il seguente modello di ricevitore del sistema SSBSC per analizzare il rumore.
Sappiamo che l'onda modulata SSBSC con banda laterale inferiore è
$$ s \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] $$
La potenza media dell'onda modulata SSBSC è
$$ P_s = \ left (\ frac {A_mA_c} {2 \ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8} $$
La potenza media del rumore nella larghezza di banda del messaggio è
$$ P_ {nc} = WN_0 $$
Sostituisci, questi valori in channel SNR formula.
$$ \ left (SNR \ right) _ {C, SSBSC} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: SSBSC \: \: modulated \: \: wave} {Average \: \: Power \: \: of \: \: noise \: \: in \: \: message \: \: bandwidth} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {C, SSBSC} = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} $$
Supponiamo che il rumore passa banda sia mescolato con l'onda modulata SSBSC nel canale come mostrato nella figura sopra. Questa combinazione viene applicata come uno degli ingressi al modulatore del prodotto. Quindi, l'ingresso di questo modulatore del prodotto è
$$ v_1 \ sinistra (t \ destra) = s \ sinistra (t \ destra) + n \ sinistra (t \ destra) $$
$$ v_1 \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] + n_I \ left (t \ right) \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) -n_Q \ sinistra (t \ destra) \ sin \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) $$
L'oscillatore locale genera il segnale portante $ c \ left (t \ right) = \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $. Questo segnale viene applicato come un altro ingresso al modulatore del prodotto. Pertanto, il modulatore del prodotto produce un output, che è il prodotto di $ v_1 \ left (t \ right) $ e $ c \ left (t \ right) $.
$$ v_2 \ sinistra (t \ destra) = v_1 \ sinistra (t \ destra) c \ sinistra (t \ destra) $$
Sostituisci i valori $ v_1 \ left (t \ right) $ e $ c \ left (t \ right) $ nell'equazione precedente.
$ \ Rightarrow v_2 (t) = (\ frac {A_mA_c} {2} \ cos [2 \ pi (f_c-f_m) t] + n_I (t) \ cos (2 \ pi f_ct) - $
$ n_Q (t) \ sin (2 \ pi f_ct)) \ cos (2 \ pi f_ct) $
$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ destra) + $
$ n_I \ sinistra (t \ destra) \ cos ^ 2 \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) -n_Q \ sinistra (t \ destra) \ sin \ sinistra (2 \ pi f_ct \ destra) \ cos \ sinistra (2 \ pi f_ct \ right) $
$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {4} \ left \ {\ cos \ left [2 \ pi \ left (2f_c-f_m \ right) t \ right] + \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right \} + $
$ n_I \ sinistra (t \ destra) \ sinistra (\ frac {1+ \ cos \ sinistra (4 \ pi f_ct \ destra)} {2} \ destra) - n_Q \ sinistra (t \ destra) \ frac {\ sin \ left (4 \ pi f_ct \ right)} {2} $
Quando il segnale di cui sopra viene applicato come ingresso al filtro passa basso, otterremo l'uscita del filtro passa basso come
$$ d \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) + \ frac {n_I \ left (t \ right)} {2} $$
La potenza media del segnale demodulato è
$$ P_m = \ left (\ frac {A_mA_c} {4 \ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {32} $$
La potenza media del rumore in uscita è
$$ P_ {no} = \ frac {WN_0} {4} $$
Sostituisci, questi valori in output SNR formula
$$ \ left (SNR \ right) _ {O, SSBSC} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: demodulated \: \: signal} {Average \: \: Power \: \: of \: \: noise \: \: at \: \: output} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {O, SSBSC} = \ left (\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {32} \ right ) / \ left (\ frac {WN_0} {4} \ right) = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} $$
Sostituisci, i valori in Figure of merit della formula del ricevitore SSBSC
$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _ {O, SSBSC}} {\ left (SNR \ right) _ {C, SSBSC}} $$
$$ F = \ left (\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} \ right) / \ left (\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} \ right) $$
$$ F = 1 $$
Pertanto, la Figura di merito del ricevitore SSBSC è 1.