Ottimizzazione convessa - Norm

Una norma è una funzione che fornisce un valore strettamente positivo a un vettore o una variabile.

Norm è una funzione $ f: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $

Le caratteristiche di base di una norma sono:

Sia $ X $ un vettore tale che $ X \ in \ mathbb {R} ^ n $

$ \ sinistra \ | x \ right \ | \ geq 0 $
$ \ sinistra \ | x \ right \ | = 0 \ Leftrightarrow x = 0 \ forall x \ in X $
$ \ sinistra \ | \ alpha x \ destra \ | = \ sinistra | \ alpha \ destra | \ sinistra \ | x \ right \ | \ forall \: x \ in X e \: \ alpha \: è \: a \: scalare $
$ \ sinistra \ | x + y \ destra \ | \ leq \ sinistra \ | x \ destra \ | + \ sinistra \ | y \ destra \ | \ forall x, y \ in X $
$ \ sinistra \ | xy \ destra \ | \ geq \ sinistra \ | \ sinistra \ | x \ destra \ | - \ sinistra \ | y \ destra \ | \ right \ | $

Per definizione, la norma è calcolata come segue:

$ \ sinistra \ | x \ right \ | _1 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | $
$ \ sinistra \ | x \ right \ | _2 = \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ 2 \ right) ^ {\ frac {1} {2}} $
$ \ sinistra \ | x \ right \ | _p = \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ p \ right) ^ {\ frac {1} {p}}, 1 \ leq p \ leq \ infty $

La norma è una funzione continua.

Prova

Per definizione, se $ x_n \ rightarrow x $ in $ X \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $ allora $ f \ left (x \ right) $ è una funzione costante.

Sia $ f \ sinistra (x \ destra) = \ sinistra \ | x \ destra \ | $

Poiché $ x_n \ rightarrow x $ quindi, $ \ left \ | x_n-x \ right \ | \ rightarrow 0 $

Quindi $ \ left | f \ sinistra (x_n \ destra) -f \ sinistra (x \ destra) \ destra | \ leq 0 \ Rightarrow \ sinistra | f \ sinistra (x_n \ destra) -f \ sinistra (x \ destra) \ destra | = 0 \ Freccia destra f \ sinistra (x_n \ destra) \ freccia destra f \ sinistra (x \ destra) $

Quindi, la norma è una funzione continua.