Produto do grupo de permutação

Question

Deixar$E,F$ser dois espaços vetoriais e$\varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$p$ times}} \to F$uma$p$- mapa linear. Se$\sigma$é uma permutação em$S_{p}$, então podemos definir outro$p$- mapa linear$\sigma \varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$p$ times}}\to F$por:$$(\sigma \varphi)(x_{1},...,x_{p}) := \varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})$$

Agora, meu livro diz que se$\tau, \sigma$são duas permutações, então:$$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$No entanto, de acordo com meus cálculos:$$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$desde$[\sigma(\tau\varphi)](x_{1},...,x_{p}) = (\tau\varphi)(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))})$. Onde está o meu erro?

Answer 1

Há um erro quando você escreve

$$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$

Você tem

$$\begin{aligned}(\tau \sigma)\varphi(x_{1},...,x_{p}) &= \varphi(x_{(\tau\sigma)(1)},...,x_{(\tau\sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau\circ \sigma)(1)},...,x_{(\tau\circ \sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau(\sigma(1))},...,x_{(\tau(\sigma(p))})\\ &= \tau(\varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})\\ &= \tau(\sigma\varphi(x_1,...,x_p)\\ \end{aligned}$$

Portanto, a igualdade de seu livro$$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$

Answer 2

Em geral, não é verdade que$\varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$-- isso só se aplica se$\tau$e$\sigma$comutar em$S_p$. Considere por exemplo$p=3$,$\tau = (1\ 3), \sigma = (1\ 2\ 3)$. Então$$\sigma\tau \phi = (1\ 2\ 3)(1\ 3)\phi = \phi(x_1,x_3,x_2) $$ $$\tau\sigma \phi = (1\ 3)(1\ 2\ 3)\phi = \phi(x_2, x_1, x_3)$$

O que é verdade é que ao avaliar$\sigma\tau\phi$(por exemplo), você pode primeiro aplicar$\tau$para$\phi$e finalmente aplicar$\sigma$, ou você pode primeiro aplicar$\sigma$para$\tau$e então aplique esta permutação combinada ($\sigma\tau$) para$\phi$.