Bề mặt đồ họa máy tính

Bề mặt đa giác

Các đối tượng được biểu diễn dưới dạng tập hợp các bề mặt. Biểu diễn đối tượng 3D được chia thành hai loại.

Boundary Representations (B-reps) - Nó mô tả một đối tượng 3D như một tập hợp các bề mặt ngăn cách bên trong đối tượng với môi trường.
Space–partitioning representations - Nó được sử dụng để mô tả các tính chất bên trong, bằng cách phân vùng không gian chứa một vật thể thành một tập hợp các chất rắn nhỏ, không chồng lên nhau, liền kề nhau (thường là hình khối).

Biểu diễn ranh giới được sử dụng phổ biến nhất cho đối tượng đồ họa 3D là một tập hợp các đa giác bề mặt bao bọc bên trong đối tượng. Nhiều hệ thống đồ họa sử dụng phương pháp này. Tập hợp các đa giác được lưu trữ để mô tả đối tượng. Điều này đơn giản hóa và tăng tốc độ hiển thị và hiển thị bề mặt của đối tượng vì tất cả các bề mặt có thể được mô tả bằng các phương trình tuyến tính.

Các bề mặt đa giác phổ biến trong các ứng dụng thiết kế và mô hình rắn, vì wireframe displaycó thể được thực hiện nhanh chóng để đưa ra chỉ dẫn chung về cấu trúc bề mặt. Sau đó, các cảnh thực tế được tạo ra bằng cách nội suy các mẫu bóng mờ trên bề mặt đa giác để chiếu sáng.

Bàn đa giác

Trong phương pháp này, bề mặt được xác định bởi tập hợp các tọa độ đỉnh và các thuộc tính liên quan. Như trong hình sau, có năm đỉnh, từ v ₁ đến v ₅ .

Mỗi đỉnh lưu trữ thông tin tọa độ x, y và z được biểu diễn trong bảng dưới dạng v ₁ : x ₁ , y ₁ , z ₁ .
Bảng Edge được sử dụng để lưu trữ thông tin về cạnh của đa giác. Trong hình sau, cạnh E ₁ nằm giữa đỉnh v ₁ và v ₂ được biểu diễn trong bảng dưới dạng E ₁ : v ₁ , v ₂ .
Bảng bề mặt đa giác lưu trữ số lượng bề mặt có trong đa giác. Từ hình dưới đây, bề mặt S ₁ được bao phủ bởi các cạnh E ₁ , E ₂ và E ₃ có thể được biểu diễn trong bảng bề mặt đa giác là S ₁ : E ₁ , E ₂ và E ₃ .

Phương trình mặt phẳng

Phương trình cho bề mặt phẳng có thể được biểu diễn dưới dạng:

Ax + By + Cz + D = 0

Trong đó (x, y, z) là bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng và các hệ số A, B, C, và D là các hằng số mô tả các thuộc tính không gian của mặt phẳng. Chúng ta có thể nhận được các giá trị của A, B, C và D bằng cách giải một bộ ba phương trình mặt phẳng sử dụng các giá trị tọa độ của ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng. Giả sử ba đỉnh của mặt phẳng là (x ₁ , y ₁ , z ₁ ), (x ₂ , y ₂ , z ₂ ) và (x ₃ , y ₃ , z ₃ ).

Hãy để chúng tôi giải các phương trình đồng thời sau đây cho các tỷ lệ A / D, B / D và C / D. Bạn nhận được các giá trị của A, B, C và D.

(A / D) x ₁ + (B / D) y ₁ + (C / D) z ₁ = -1

(A / D) x ₂ + (B / D) y ₂ + (C / D) z ₂ = -1

(A / D) x ₃ + (B / D) y ₃ + (C / D) z ₃ = -1

Để thu được các phương trình trên ở dạng định thức, hãy áp dụng quy tắc Cramer cho các phương trình trên.

$ A = \ begin {bmatrix} 1 & y_ {1} & z_ {1} \\ 1 & y_ {2} & z_ {2} \\ 1 & y_ {3} & z_ {3} \ end {bmatrix} B = \ bắt đầu {bmatrix} x_ {1} & 1 & z_ {1} \\ x_ {2} & 1 & z_ {2} \\ x_ {3} & 1 & z_ {3} \ end {bmatrix} C = \ begin {bmatrix} x_ {1} & y_ {1} & 1 \\ x_ {2} & y_ {2} & 1 \\ x_ {3} & y_ {3} & 1 \ end {bmatrix} D = - \ begin {bmatrix} x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} & z_ {3} \ end {bmatrix } $

Đối với bất kỳ điểm nào (x, y, z) với các tham số A, B, C và D, chúng ta có thể nói rằng -

Ax + By + Cz + D ≠ 0 nghĩa là điểm không nằm trên mặt phẳng.
Ax + By + Cz + D <0 có nghĩa là điểm nằm bên trong bề mặt.
Ax + By + Cz + D> 0 có nghĩa là điểm nằm ngoài bề mặt.

Lưới đa giác

Bề mặt 3D và chất rắn có thể được tính gần đúng bằng một tập hợp các phần tử đa giác và đường. Các bề mặt như vậy được gọi làpolygonal meshes. Trong lưới đa giác, mỗi cạnh được chia sẻ bởi nhiều nhất hai đa giác. Tập hợp các đa giác hoặc mặt, cùng nhau tạo thành “da” của đối tượng.

Phương pháp này có thể được sử dụng để biểu diễn một lớp rộng các chất rắn / bề mặt trong đồ họa. Một lưới đa giác có thể được hiển thị bằng cách sử dụng các thuật toán loại bỏ bề mặt ẩn. Lưới đa giác có thể được biểu diễn bằng ba cách: