Truyền thông kỹ thuật số - Lấy mẫu
Sampling được định nghĩa là, "Quá trình đo các giá trị tức thời của tín hiệu thời gian liên tục ở dạng rời rạc."
Sample là phần dữ liệu được lấy từ toàn bộ dữ liệu liên tục trong miền thời gian.
Khi một nguồn tạo ra tín hiệu tương tự và nếu tín hiệu đó phải được số hóa, thì 1s và 0stức là, Cao hay Thấp, tín hiệu phải được điều chỉnh kịp thời. Sự tùy tiện của tín hiệu tương tự này được gọi là Lấy mẫu.
Hình sau cho biết tín hiệu thời gian liên tục x (t) và một tín hiệu được lấy mẫu xs (t). Khi nàox (t) được nhân với một tàu xung lực định kỳ, tín hiệu được lấy mẫu xs (t) thu được.
Tỷ lệ lấy mẫu
Để loại bỏ các tín hiệu, khoảng cách giữa các mẫu phải được cố định. Khoảng cách đó có thể được gọi làsampling period Ts.
$$ Lấy mẫu \: Tần số = \ frac {1} {T_ {s}} = f_s $$Ở đâu,
$ T_ {s} $ là thời gian lấy mẫu
$ f_ {s} $ là tần suất lấy mẫu hoặc tốc độ lấy mẫu
Sampling frequencylà nghịch đảo của chu kỳ lấy mẫu. Tần số lấy mẫu này, có thể được gọi đơn giản làSampling rate. Tốc độ lấy mẫu biểu thị số lượng mẫu được lấy trong một giây hoặc cho một bộ giá trị hữu hạn.
Để tín hiệu tương tự được tái tạo từ tín hiệu số hóa, tốc độ lấy mẫu cần được xem xét cao. Tốc độ lấy mẫu phải sao cho dữ liệu trong tín hiệu bản tin không bị mất và không bị chồng chéo. Do đó, một tỷ lệ đã được cố định cho điều này, được gọi là tỷ lệ Nyquist.
Tỷ lệ Nyquist
Giả sử rằng tín hiệu bị giới hạn băng tần không có thành phần tần số nào cao hơn WHertz. Điều đó có nghĩa là,Wlà tần số cao nhất. Đối với tín hiệu như vậy, để tái tạo hiệu quả tín hiệu gốc, tốc độ lấy mẫu phải gấp đôi tần số cao nhất.
Nghĩa là,
$$ f_ {S} = 2W $$Ở đâu,
$ f_ {S} $ là tỷ lệ lấy mẫu
W là tần số cao nhất
Tỷ lệ lấy mẫu này được gọi là Nyquist rate.
Một định lý được gọi là Định lý Lấy mẫu, được phát biểu trên lý thuyết về tỷ lệ Nyquist này.
Định lý lấy mẫu
Định lý lấy mẫu, còn được gọi là Nyquist theorem, đưa ra lý thuyết về tốc độ mẫu đủ về băng thông cho loại chức năng bị giới hạn băng thông.
Định lý lấy mẫu phát biểu rằng, “một tín hiệu có thể được tái tạo chính xác nếu nó được lấy mẫu ở tốc độ fs lớn hơn hai lần tần số tối đa W. ”
Để hiểu định lý lấy mẫu này, chúng ta hãy xem xét một tín hiệu giới hạn băng tần, tức là, một tín hiệu có giá trị là non-zero giữa một số –W và W Hertz.
Một tín hiệu như vậy được biểu diễn dưới dạng $x(f) = 0 for |f\lvert > W$
Đối với tín hiệu thời gian liên tục x (t), tín hiệu giới hạn băng tần trong miền tần số, có thể được biểu diễn như trong hình sau.
Chúng ta cần một tần số lấy mẫu, một tần số mà tại đó không được mất thông tin, ngay cả sau khi lấy mẫu. Đối với điều này, chúng tôi có tỷ lệ Nyquist mà tần số lấy mẫu phải gấp hai lần tần số tối đa. Đây là tốc độ lấy mẫu quan trọng.
Nếu tín hiệu x(t) được lấy mẫu trên tốc độ Nyquist, tín hiệu ban đầu có thể được khôi phục, và nếu nó được lấy mẫu dưới tốc độ Nyquist, tín hiệu không thể được khôi phục.
Hình sau giải thích một tín hiệu, nếu được lấy mẫu ở tốc độ cao hơn 2w trong miền tần số.
Hình trên cho thấy phép biến đổi Fourier của một tín hiệu $x_{s}(t)$. Ở đây, thông tin được tái tạo mà không có bất kỳ tổn thất nào. Không có sự trộn lẫn và do đó có thể phục hồi.
Biến đổi Fourier của tín hiệu $x_{s}(t)$ Là
$$ X_ {s} (w) = \ frac {1} {T_ {s}} \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty X (w-nw_0) $$Trong đó $ T_ {s} $ = Sampling Period và $ w_ {0} = \ frac {2 \ pi} {T_s} $
Hãy để chúng tôi xem điều gì sẽ xảy ra nếu tốc độ lấy mẫu bằng hai lần tần số cao nhất (2W)
Điều đó có nghĩa là,
$$ f_ {s} = 2W $$Ở đâu,
$ f_ {s} $ là tần suất lấy mẫu
W là tần số cao nhất
Kết quả sẽ như trong hình trên. Thông tin được thay thế mà không có bất kỳ mất mát. Do đó, đây cũng là một tỷ lệ lấy mẫu tốt.
Bây giờ, chúng ta hãy xem xét tình trạng,
$$ f_ {s} <2W $$Mô hình kết quả sẽ giống như hình sau.
Từ mô hình trên, chúng ta có thể nhận thấy rằng việc chồng chéo thông tin được thực hiện, dẫn đến việc trộn lẫn và mất thông tin. Hiện tượng over-lapping không mong muốn này được gọi là Aliasing.
Răng cưa
Aliasing có thể được gọi là “hiện tượng một thành phần tần số cao trong phổ của tín hiệu, nhận dạng thành phần tần số thấp trong phổ của phiên bản được lấy mẫu của nó.”
Các biện pháp khắc phục được thực hiện để giảm ảnh hưởng của Aliasing là:
Trong phần máy phát của PCM, low pass anti-aliasing filter được sử dụng, trước bộ lấy mẫu, để loại bỏ các thành phần tần số cao, không mong muốn.
Tín hiệu được lấy mẫu sau khi lọc, được lấy mẫu với tốc độ cao hơn một chút so với tốc độ Nyquist.
Lựa chọn có tỷ lệ lấy mẫu cao hơn tỷ lệ Nyquist này, cũng giúp thiết kế dễ dàng hơn reconstruction filter ở đầu thu.
Phạm vi của biến đổi Fourier
Nhìn chung, chúng tôi nhận thấy rằng, chúng tôi tìm kiếm sự trợ giúp của chuỗi Fourier và các phép biến đổi Fourier trong việc phân tích các tín hiệu và cả trong việc chứng minh các định lý. Đó là bởi vì -
Biến đổi Fourier là phần mở rộng của chuỗi Fourier cho các tín hiệu không tuần hoàn.
Biến đổi Fourier là một công cụ toán học mạnh mẽ giúp xem các tín hiệu trong các miền khác nhau và giúp phân tích các tín hiệu một cách dễ dàng.
Bất kỳ tín hiệu nào cũng có thể được phân tách thành tổng sin và cosine bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier này.
Trong chương tiếp theo, chúng ta hãy thảo luận về khái niệm Lượng tử hóa.