Transformación 3D

Rotación

La rotación 3D no es lo mismo que la rotación 2D. En la rotación 3D, tenemos que especificar el ángulo de rotación junto con el eje de rotación. Podemos realizar una rotación 3D sobre los ejes X, Y y Z. Están representados en forma de matriz como se muestra a continuación:

$$ R_ {x} (\ theta) = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos \ theta & −sin \ theta & 0 \\ 0 & sin \ theta & cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ \ \ end {bmatrix} R_ {y} (\ theta) = \ begin {bmatrix} cos \ theta & 0 & sin \ theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ −sin \ theta & 0 & cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix} R_ {z} (\ theta) = \ begin {bmatrix} cos \ theta & −sin \ theta & 0 & 0 \\ sin \ theta & cos \ theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $$

La siguiente figura explica la rotación sobre varios ejes:

Escalada

Puede cambiar el tamaño de un objeto mediante la transformación de escala. En el proceso de escalado, expande o comprime las dimensiones del objeto. La escala se puede lograr multiplicando las coordenadas originales del objeto con el factor de escala para obtener el resultado deseado. La siguiente figura muestra el efecto de la escala 3D:

En la operación de escalado 3D, se utilizan tres coordenadas. Supongamos que las coordenadas originales son (X, Y, Z), los factores de escala son $ (S_ {X,} S_ {Y,} S_ {z}) $ respectivamente, y las coordenadas producidas son (X ', Y' , Z '). Esto se puede representar matemáticamente como se muestra a continuación:

$ S = \ begin {bmatrix} S_ {x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_ {y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S_ {z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $

P '= P ∙ S

$ [{X} '\: \: \: {Y}' \: \: \: {Z} '\: \: \: 1] = [X \: \: \: Y \: \: \: Z \: \: \: 1] \: \: \ begin {bmatrix} S_ {x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_ {y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S_ {z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 y 1 \ end {bmatrix} $

$ = [X.S_ {x} \: \: \: Y.S_ {y} \: \: \: Z.S_ {z} \: \: \: 1] $

Cortar

Una transformación que inclina la forma de un objeto se llama shear transformation. Al igual que en el corte 2D, podemos cortar un objeto a lo largo del eje X, eje Y o eje Z en 3D.

Como se muestra en la figura anterior, hay una coordenada P. Puede cortarla para obtener una nueva coordenada P ', que se puede representar en forma de matriz 3D como se muestra a continuación:

$ Sh = \ begin {bmatrix} 1 & sh_ {x} ^ {y} & sh_ {x} ^ {z} & 0 \\ sh_ {y} ^ {x} & 1 & sh_ {y} ^ {z} & 0 \\ sh_ {z} ^ {x} & sh_ {z} ^ {y} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $

P '= P ∙ Sh

$ X '= X + Sh_ {x} ^ {y} Y + Sh_ {x} ^ {z} Z $

$ Y '= Sh_ {y} ^ {x} X + Y + sh_ {y} ^ {z} Z $

$ Z '= Sh_ {z} ^ {x} X + Sh_ {z} ^ {y} Y + Z $

Matrices de transformación

La matriz de transformación es una herramienta básica para la transformación. Una matriz con nxm dimensiones se multiplica por las coordenadas de los objetos. Normalmente se utilizan matrices de 3 x 3 o 4 x 4 para la transformación. Por ejemplo, considere la siguiente matriz para varias operaciones.

$ T = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ t_ {x} & t_ {y} & t_ {z} & 1 \\ \ end {bmatrix} $	$ S = \ begin {bmatrix} S_ {x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_ {y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S_ {z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $	$ Sh = \ begin {bmatrix} 1 & sh_ {x} ^ {y} & sh_ {x} ^ {z} & 0 \\ sh_ {y} ^ {x} & 1 & sh_ {y} ^ {z} & 0 \\ sh_ {z} ^ {x} & sh_ {z} ^ {y} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $
Translation Matrix	Scaling Matrix	Shear Matrix
$ R_ {x} (\ theta) = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos \ theta & -sin \ theta & 0 \\ 0 & sin \ theta & cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix} $	$ R_ {y} (\ theta) = \ begin {bmatrix} cos \ theta & 0 & sin \ theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sin \ theta & 0 & cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix} $	$ R_ {z} (\ theta) = \ begin {bmatrix} cos \ theta & -sin \ theta & 0 & 0 \\ sin \ theta & cos \ theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $
Rotation Matrix