Sistemas de control: controladores
Los distintos tipos de controladores se utilizan para mejorar el rendimiento de los sistemas de control. En este capítulo, discutiremos los controladores básicos como el proporcional, el derivado y el integral.
Controlador proporcional
El controlador proporcional produce una salida que es proporcional a la señal de error.
$$ u (t) \ propto e (t) $$
$$ \ Flecha derecha u (t) = K_P e (t) $$
Aplicar la transformada de Laplace en ambos lados -
$$ U (s) = K_P E (s) $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P $$
Por lo tanto, la función de transferencia del controlador proporcional es $ K_P $.
Dónde,
U (s) es la transformada de Laplace de la señal de actuación u (t)
E (s) es la transformada de Laplace de la señal de error e (t)
K P es la constante de proporcionalidad
El diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado de retroalimentación negativa unitaria junto con el controlador proporcional se muestra en la siguiente figura.
El controlador proporcional se utiliza para cambiar la respuesta transitoria según el requisito.
Controlador derivado
El controlador derivado produce una salida, que es una derivada de la señal de error.
$$ u (t) = K_D \ frac {\ text {d} e (t)} {\ text {d} t} $$
Aplicar la transformación de Laplace en ambos lados.
$$ U (s) = K_D sE (s) $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_D s $$
Por lo tanto, la función de transferencia del controlador derivado es $ K_D s $.
Donde, $ K_D $ es la constante derivada.
El diagrama de bloques del sistema de control de bucle cerrado de retroalimentación negativa unitaria junto con el controlador derivado se muestra en la siguiente figura.
El controlador derivado se utiliza para convertir el sistema de control inestable en uno estable.
Controlador integral
El controlador integral produce una salida, que es integral de la señal de error.
$$ u (t) = K_I \ int e (t) dt $$
Aplicar la transformada de Laplace en ambos lados -
$$ U (s) = \ frac {K_I E (s)} {s} $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = \ frac {K_I} {s} $$
Por lo tanto, la función de transferencia del controlador integral es $ \ frac {K_I} {s} $.
Donde, $ K_I $ es la constante integral.
El diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado de retroalimentación negativa unitaria junto con el controlador integral se muestra en la siguiente figura.
El controlador integral se usa para disminuir el error de estado estable.
Analicemos ahora la combinación de controladores básicos.
Controlador proporcional derivado (PD)
El controlador derivado proporcional produce una salida, que es la combinación de las salidas de los controladores derivado y proporcional.
$$ u (t) = K_P e (t) + K_D \ frac {\ text {d} e (t)} {\ text {d} t} $$
Aplicar la transformación de Laplace en ambos lados -
$$ U (s) = (K_P + K_D s) E (s) $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P + K_D s $$
Por lo tanto, la función de transferencia del controlador derivado proporcional es $ K_P + K_D s $.
El diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado de retroalimentación negativa unitaria junto con el controlador derivativo proporcional se muestra en la siguiente figura.
El controlador derivado proporcional se utiliza para mejorar la estabilidad del sistema de control sin afectar el error de estado estable.
Controlador proporcional integral (PI)
El controlador integral proporcional produce una salida, que es la combinación de salidas de los controladores proporcional e integral.
$$ u (t) = K_P e (t) + K_I \ int e (t) dt $$
Aplicar la transformación de Laplace en ambos lados -
$$ U (s) = \ left (K_P + \ frac {K_I} {s} \ right) E (s) $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P + \ frac {K_I} {s} $$
Por lo tanto, la función de transferencia del controlador integral proporcional es $ K_P + \ frac {K_I} {s} $.
El diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado de retroalimentación negativa unitaria junto con el controlador integral proporcional se muestra en la siguiente figura.
El controlador integral proporcional se utiliza para disminuir el error de estado estable sin afectar la estabilidad del sistema de control.
Controlador proporcional integral derivado (PID)
El controlador proporcional integral derivado produce una salida, que es la combinación de las salidas de los controladores proporcionales, integrales y derivados.
$$ u (t) = K_P e (t) + K_I \ int e (t) dt + K_D \ frac {\ text {d} e (t)} {\ text {d} t} $$
Aplicar la transformación de Laplace en ambos lados -
$$ U (s) = \ left (K_P + \ frac {K_I} {s} + K_D s \ right) E (s) $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P + \ frac {K_I} {s} + K_D s $$
Por lo tanto, la función de transferencia del controlador derivado integral proporcional es $ K_P + \ frac {K_I} {s} + K_D s $.
El diagrama de bloques del sistema de control de bucle cerrado de retroalimentación negativa unitaria junto con el controlador derivado integral proporcional se muestra en la siguiente figura.
El controlador derivado integral proporcional se utiliza para mejorar la estabilidad del sistema de control y disminuir el error de estado estable.